PRESENTAZIONE

Con il termine “problema inverso” si indica una vasta classe di problemi in cui occorre determinare informazioni su un sistema fisico che è la causa, o sorgente, di un determinato fenomeno, a partire da misurazioni degli effetti generati da tale sorgente.

L’insegnamento illustra la teoria matematica e le metodologie regolarizzanti, sia di carattere deterministico che di tipo stocastico, alla base della risoluzione dei problemi inversi presenti negli ambiti di carattere applicativo.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Il corso si propone di definire i problemi mal posti derivanti dalla inversione di operatori lineari e di dare una panoramica dei principali metodi numerici di regolarizzazione per tali problemi.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

L’insegnamento ha lo scopo di fornire agli studenti gli strumenti matematici di base necessari ad affrontare lo studio teorico di problemi inversi e la loro risoluzione numerica in ambito applicativo. A tale scopo, insieme a lezioni frontali inerenti la teoria, è prevista attività di laboratorio computazionale.

Al termine del corso lo studente avrà acquisito conoscenze teoriche sufficienti

• ad identificare i principali modelli matematici associati a problemi malposti;
• ad utilizzare ​strumenti propri dell’analisi funzionale, quali la teoria degli operatori lineari in spazi di dimensione infinita, per risolvere problemi inversi;
• a comprendere e classificare i metodi di regolarizzazione alla Tikhonov e i metodi di regolarizzazione iterativa;
• ad applicare strumenti matematici di risoluzione numerica nell’ambito dei problemi di deconvoluzione di immagini;
• a comprendere l'interpretazione probabilistica dei problemi inversi;
• ad affrontare problemi inversi non-lineari con tecniche di calcolo di tipo Monte Carlo;
• ad affrontare problemi inversi dinamici, in cui l'incognita varia nel tempo, con tecniche di filtraggio Bayesiano.

Importanti esempi di problemi inversi in ambito applicativo sono la diagnostica per immagini (TAC, Tomografia Assiale Computerizzata), il telerilevamento satellitare in climatologia, la tomografia acustica oceanografica e l’analisi non distruttiva in ingegneria civile, la ricostruzione e il riconoscimento di immagini, l’apprendimento automatico da esempi.

PREREQUISITI

Gli strumenti matematici necessari alla comprensione degli argomenti trattati sono forniti nel corso. Per una comprensione approfondita può comunque risultare utile avere qualche rudimento di:

• teoria degli operatori lineari in spazi di Hilbert;
• metodi iterativi per sistemi lineari;
• teoria della probabilità;
• teoria delle catene di Markov a tempo discreto.

MODALITA' DIDATTICHE

L’attività didattica è costituita:

• da lezioni frontali in modalità tradizionale, svolte dai docenti per un totale di 50 ore, nelle quali vengono introdotti e spiegati gli argomenti nella loro impostazione teorica classica;
• da ulteriori 10 ore di attività di laboratorio computazionale, svolte da un tutor, nelle quali gli strumenti di teoria vengono applicati alla risoluzione di problemi inversi in ambito applicativo.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Il programma verte sui seguenti argomenti principali:

• Operatori lineari su spazi di Hilbert: operatori con range chiuso e non chiuso,, operatori compatti e risoluzione spettrale di operatori autoaggiunti.
• Problemi mal posti, inversa generalizzata. Caso degli operatori compatti. Sistema singolare e metodi di regolarizzazione: algoritmi di regolarizzazione nel senso di Tikhonov.
• Metodi iterativi regolarizzanti: metodo di Landweber-Fridman e metodo del gradiente coniugato. Criteri di scelta del parametro di regolarizzazione.
• Problemi di ricostruzione di immagini e deconvoluzione. Vengono analizzati i metodi di regolarizzazione già esposti adattati all’utilizzo degli strumenti propri dell’analisi di Fourier.
• Approccio statistico ai problemi inversi: Maximum Likelihood e Teorema di Bayes.
• Metodi Monte Carlo per risoluzione di problemi inversi non-lineari: "importance sampling" e "Monte Carlo a Catene di Markov".
• Metodi per problemi inversi dinamici: filtri di Kalman e filtri a particelle.

Si considera parte integrante del corso la sperimentazione numerica effettuata in Laboratorio utilizzando il linguaggio Matlab.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

In generale, gli appunti presi durante le lezioni e il materiale scaricabile dalla pagina web del corso sono sufficienti per la preparazione dell'esame. Più in dettaglio, possono risultare utili i testi seguenti:

• C. Estatico, Gradiente coniugato e regolarizzazione di problemi mal posti (Quaderni del Gruppo Nazionale per l’Informatica Matematica, C.N.R., I.N.d.A.M., 1996) 
• M.Bertero, P. Boccacci, An Introduction to Inverse Problems in Imaging (IOP, Bristol, 1996)
• C.W.Groetsch, Generalized Inverses of Linear Operators (New York and Basel: Marcel Dekker Inc., USA, 1997)
• Robert and Casella, Monte Carlo Statistical Methods (Springer, 2004).

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

CLAUDIO ESTATICO (Presidente)

ALBERTO SORRENTINO (Presidente)

FEDERICO BENVENUTO

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio del Corso di Studi.

Orari delle lezioni

PROBLEMI INVERSI E APPLICAZIONI

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste in una prova orale. In alcuni casi potrà essere discussa un’attività svolta in laboratorio computazionale.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

La prova orale verte principalmente sugli argomenti di carattere teorico svolti dai docenti, e si prefigge di accertare la comprensione degli stessi, anche mediante la discussione e la giustificazione intuitiva dei concetti analitici e degli esempi applicativi. In alcuni casi potrà anche essere valutato un elaborato scritto di laboratorio.

ALTRE INFORMAZIONI

Sebbene la frequenza alle lezioni sia di carattere facoltativo, essa è fortemente consigliata.