PRESENTAZIONE

In questo corso, studiamo le strutture matematiche che emergono dalla meccanica classica (cioè Newtoniana). Offrono un approccio sistematico per affrontare problemi di fisica complessi, ad esempio i moti vincolati. Verrà discussa in particolare la formulazione della meccanica svillupata da Lagrange, poi  da Hamilton.

Si studieranno inoltre alcuni elementi della teoria della stabilità per sistemi dinamici classici. Sarà anche introddotto il calcolo delle variazioni: oltre ad essere la chiave a problemi di matematica pura sulla ricerca di estremali, porta a teorema fondamentali in fisica matematica, come il teorema di Noether.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

In questo insegnamento verranno trattati i fondamenti della meccanica analitica sia lagrangiana che hamiltoniana e della teoria della stabilità.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Obiettivo del corso è la formulazione della meccanica analitica, sia dal punto di vista Lagrangiano che dal punto di vista Hamiltoniano, e le relative applicazioni alla risoluzione di problemi di carattere meccanico.
Partendo dalle leggi di Newton e dall'esame dei sistemi vincolati, si giunge al formalismo Lagrangiano a alle equazioni di Eulero-Lagrange. La risolubilità delle equazioni di Eulero-Lagrange è discussa in dettaglio, esaminando in particolare la struttura dell'energia cinetica. Durante il corso vengono presi in esame diversi esempi di interesse fisico, relativi sia a sistemi di punti materiali che a corpi rigidi. Inoltre, il corso affronta la teoria della stabilità alla Ljapunov per sistemi dinamici autonomi e la sua applicazione alle piccole oscillazioni attorno alle configurazioni di equilibrio stabile di un sistema meccanico.
Il passaggio dal formalismo Lagrangiano a quello Hamiltoniano è ottenuto mediante la trasformata di Legendre. Ciò consente di derivare le equazioni di Hamilton dalle equazioni di Eulero-Lagrange. Lo studio della struttura simplettica manifesta in meccanica Hamiltoniana è formalizzato mediante l'introduzione delle parentesi di Poisson, le cui proprietà sono discusse in dettaglio. Si è così naturalmente indotti a introdurre le trasformazioni canoniche come quelle trasformazioni che preservano la forma delle parentesi di Poisson e sono derivate alcune caratterizzazioni equivalenti, con particolare attenzione al metodo della funzione generatrice. La parte del corso dedicata alla meccanica Hamiltoniana è completata prendendo in esame le equazioni di Hamilton-Jacobi, il cui scopo è individuare un sistema di coordinate canoniche rispetto alle quali le equazioni di Hamilton risultano banali.
Il corso presenta anche il principio variazionale, sia nel formalismo Lagrangiano che nel formalismo Hamiltoniano, e di alcune loro applicazioni a problemi di carattere sia geometrico che fisico. Culmina con l'enunciato e la dimostrazione del teorema di Noether.
Per tutta la durata del corso, le lezioni sono accompagnate da esercitazioni, il cui obiettivo è preparare lo studente ad affrontare e risolvere in maniera autonoma un ampio spettro di problemi di natura meccanica da un punto di vista analitico.

PREREQUISITI

I contenuti di base dei corsi del primo anno della laurea triennale.

MODALITA' DIDATTICHE

Il corso si svolge mediante lezioni frontali. Parte del corso è costituito da lezioni di carattere teorico (circa 48), volte a illustrare gli aspetti formali delle teoria, accompagnati da alcuni esempi concreti. A integrazione della parte teorica del corso sono previste alcune esercitazioni pratiche (circa 24 ore), aventi lo scopo di illustrare l'uso concreto degli strumenti appresi durante il corso e di preparare lo studente a risolvere autonomamente problemi di meccanica analitica.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Meccanica del punto

• Spaziotempo della fisica classica
• Cinematica
• Dinamica
• Meccanica relativa    
• Teorema dell'energia

Meccanica analitica dei sistemi olonomi

• Moto del punto vincolato  
• Meccanica lagrangiana
• Meccanica relativa lagrangiana
• Integrali primi 

Principio variazionale

• Caso lagrangiano
• Teorema di Noether

Introduzione allo studio della stabilità per sistemi dinamici

• Soluzione di equilibrio
• Stabilità dei punti critici
• Piccole oscillazioni

Meccanica Hamiltoniana

• Equazioni di Hamilton
• Trasformazioni canoniche
• Teoria di Hamilton-Jacobi

TESTI/BIBLIOGRAFIA

H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, “Classical Mechanics”, 3rd edn. Addison-Wesley, San Francisco, (2002).

V. I. Arnold “Metodi Matematici della Meccanica Classica” Editori Riuniti University Press, (2010).

V. Moretti “Meccanica analitca ”, Springer , (2020). 

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Dal 23 febbraio 2026.

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame si divide in due parte: 

-una prova scritta di 3 ore. Gli appunti del corso e degli esercizi sono autorizzati, ma solo in versione cartacea. Non è concesso l'uso di dispositivi elettronici. 

- una prova orale, alle quale ha acesso chi supera la prova scritta. La prova orale consiste in due domande successive, una da ognuo dei due docenti coinvolti nel corso.

Chi supera la prova scritta può presentarsi alla sessione orale di sua scelta (non necessariamente quella subito dopo l'esame scritto).

Si ricorda alle studentesse e agli studenti con disabilità o con disturbi specifici dell'apprendimento (DSA) che per poter richiedere adattamenti in sede d'esame occorre prima inserire la certificazione sul sito web di Ateneo alla pagina servizionline.unige.it nella sezione “Studenti”. La documentazione sarà verificata dal Settore servizi per l’inclusione degli studenti con disabilità e con DSA dell’Ateneo.

Successivamente, con significativo anticipo (almeno 7 giorni) rispetto alla data di esame occorre inviare una e-mail al/alla docente con cui si sosterrà la prova di esame, inserendo in copia conoscenza sia il docente Referente di Scuola per l'inclusione degli studenti con disabilità e con DSA (sergio.didomizio@unige.it) sia il Settore sopra indicato. Nella e-mail occorre specificare:

• la denominazione dell’insegnamento
• la data dell'appello
• il cognome, nome e numero di matricola dello studente
• gli strumenti compensativi e le misure dispensative ritenuti funzionali e richiesti.

Il/la referente confermerà al/alla docente che il/la richiedente ha diritto a fare richiesta di adattamenti in sede d'esame e che tali adattamenti devono essere concordati con il/la docente. Il/la docente risponderà comunicando se sia possibile utilizzare gli adattamenti richiesti.

Le richieste devono essere inviate almeno 7 giorni prima della data dell’appello al fine di consentire al/alla docente di valutarne il contenuto. In particolare, nel caso in cui si intenda usufruire di mappe concettuali per l’esame (che devono essere molto più sintetiche rispetto alle mappe usate per lo studio) se l’invio non rispetta i tempi previsti non vi sarà il tempo tecnico necessario per apportare eventuali modifiche.

Per ulteriori informazioni in merito alla richiesta di servizi e adattamenti consultare il documento: Linee guida per la richiesta di servizi, di strumenti compensativi e/o di misure dispensative e di ausili specifici.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

L'accertamento dell'apprendimento avviene in due fasi. La prima fase consiste in una prova scritta, in cui si richiede allo studente di risolvere alcuni esercizi di meccanica utilizzando gli strumenti messi a disposizione dal corso. La seconda fase consiste in una prova orale, in cui si richiede allo studente di dimostrare dimestichezza con i concetti affrontati durante il corso e capacità di verificare i risultati che ne discendono.

ALTRE INFORMAZIONI

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.