ALGEBRA 2

Informazioni in aggiornamento fino al 30/06/2026

CODICE	25905
ANNO ACCADEMICO	2026/2027
CFU	8 cfu anno 2 MATEMATICA 11897 (L-35 R) - GENOVA
SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE	MAT/02
LINGUA	Italiano
SEDE	GENOVA
PERIODO	1° Semestre

PRESENTAZIONE

In Algebra 2 presentiamo le principali strutture algebriche astratte che abbiamo già incontrato in modo informale e principalmente sotto forma di esempi in Algebra 1. In particolare discutiamo le nozioni di gruppo ed anello. Inoltre inizieremo la trattazione delle estensioni di campi. Le lezioni si tengono in lingua italiana.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Vengono presentati i principali concetti di algebra astratta che sono stati introdotti in modo meno formale in Algebra 1. In particolare, vengono discusse le nozioni e principali proprietà delle strutture algebriche di gruppo ed anello e vengono introdotte le estensioni di campi.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Scopo dell’insegnamento è:

1) introdurre i concetti algebrici di base e le relazioni fra di essi.

2) descrivere la costruzione di oggetti algebrici astratti, la loro rappresentazione, il loro riconoscimento e la loro manipolazione.

3) analizzare in maniera approfondita e dettagliata i concetti di gruppo libero, azione di un gruppo su di un insieme e decomposizione in orbite associata, la classificazione dei gruppi Abeliani finitamente generati, i teoremi di isomorfismo per gruppi e per anelli, i concetti di ideale, le varie tipologie di ideali, la fattorizzazione unica in anelli, i campi finiti, gli elementi algebrici ed i loro polinomi minimi.

Al termine dell’insegnamento, lo studente sarà in grado di:
1) Comprendendere le varie tipologie di strutture algebriche astratte e riconoscerne le differenze e similitudini tra di esse.
2) Decidere se una struttura algebrica astratta possiede determinate caratterstiche.
3) Costruire strutture algebriche astratte con specifiche caratteristiche
4) Riprodurre e generalizzare costruzioni ed argomenti teorici finalizzati alla comprensione ed analisi delle strutture algebriche astratte.

PREREQUISITI

I prerequisiti riguardano i concetti e gli esempi di strutture algebriche presentati negli insegnamenti di Algebra 1 e Algebra Lineare.

MODALITA' DIDATTICHE

L’insegnamento è articolato in lezioni frontali svolte dai docenti in cui verrà esposta la teoria, che verrà applicata ad esempi concreti ed illustrata attraverso la risoluzione di esercizi.
Le studentesse e gli studenti e gli studenti impossibilitati a frequentare le lezioni sono invitati a contattare il docente per concordare incontri a loro dedicati e materiale specifico.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Gruppi, periodo di un elemento, gruppi ciclici, sottogruppi, sottogruppi normali e gruppi quozienti. Omomorfirmi e isomorfismi. Gruppo degli automorfismi. Prodotti cartesiani di gruppi, prodotti semidiretti di gruppi. Azioni di gruppi su insiemi, orbite e stabilizzatori. Gruppi lineari, gruppi di permutazioni, gruppi liberi, presentazioni di gruppi. Gruppi finiti di ordine basso. Gruppi Abeliani, gruppi Abeliani finitamente generati, gruppi di torsione. Il Teorema di struttura dei gruppi Abeliani finitamente generati e le sue applicazioni.

Anelli, anelli commutativi, anelli unitari. Elementi invertibili, zero divisori, nilpotenti, idempotenti. Anelli che sono corpi o campi, domini di integrità, anelli ridotti. Sottoanelli ed ideali. Anelli quoziente, ideali massimali, idelai primi ed ideali radicali. Il corpo dei quaternioni. Caratteristica di un anello unitario. Anelli euclidei, gli interi di Gauss, PID e anelli con fattorizzazione unica. Anelli di polinomi, omomorfismi di valutazioni, anelli Noetheriani. Isomorfismi canonici. Il teorema Cinese dei resti in un PID. Omomorfismo di Frobenious. Gli isomorfismi canonici. Campi finiti. Estensioni di campi. Elementi algebrici e trasscendenti. Estensioni finite. Il campo di spezzamento di un polinomio.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

In generale, gli appunti presi durante le lezioni e il materiale messo a disposizione su aul@web sono sufficienti per lo studio e la preparazione dell'esame sia scritto che orale. I libri sotto indicati sono suggeriti come testi di appoggio per eventuali approfondimenti o per studentesse e studenti non frequentanti.

M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri;

Lindsay N. Childs, "Algebra, un'introduzione concreta", ETS Editrice Pisa, 1989.

D.Dikranjan, M.Lucido, Aritmetica ed Algebra, Liguori Eds.

Esercizi scelti di Algebra, Volume 1,
Rocco Chirivì , Ilaria Del Corso , Roberto Dvornicich
Springer Verlag Collana: Unitext.

Esercizi scelti di Algebra, Volume 2,
Rocco Chirivì , Ilaria Del Corso , Roberto Dvornicich
Springer Verlag Collana: Unitext.

DOCENTI E COMMISSIONI

ALDO CONCA

Ricevimento: Su appuntamento da concordare con il docente per email o a voce alla fine delle lezioni.

ALESSIO CAMINATA

Ricevimento: Su appuntamento. Gli studenti possono contattare il docente via e-mail.

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Si veda https://corsi.unige.it/corsi/11897/studenti-orario

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste in due prove, una prova scritta ed una prova orale. Per accedere alla prova orale è necessario superare la prova scritta con un punteggio maggiore o uguale a 18 punti su 30. Nella prova orale viene assegnato un punteggio appartenente all'intervallo [-13,13]. La prova complessiva risulta superata se la somma fra il punteggio della prova scritta e della prova orale risulta maggiore o uguale a 18. Sono previste prove scritte intermedie che, se superate, possono sostituire il superamento della prova scritta.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

La prova scritta che consiste nella risoluzione di esercizi relativi al programma svolto. La prova orale che consiste nella discussione di esercizi, di esempi, di nozioni teoriche, di definizioni, di costruzioni e di dimostrazioni dei teoremi presentati durante le lezioni.

ALTRE INFORMAZIONI

La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata. E' consigliata anche la partecipazione al ricevimento studenti settimanale, alle esercitazione guidate ed alle prove intermedie.

Strumenti compensativi e misure dispensative Disabilità/Invalidità/Disturbo Specifico dell'Apprendimento

Le misure dispensative e gli strumenti compensativi servono a mettere gli studenti in condizione di raggiungere gli stessi obiettivi di apprendimento dei compagni di studio, non a facilitare l'esame.

L’utilizzo di strumenti compensativi e l’applicazione di misure dispensative devono essere preventivamente autorizzati dal Docente titolare dell'insegnamento in accordo con il Referente.

Per usufruire degli adattamenti in sede di esame compila il Modulo per la richiesta di adattamenti; la richiesta verrà inviata automaticamente dal sistema al docente titolare dell’insegnamento, al Referente della tua Scuola/Area/Dipartimento e in copia conoscenza al Settore; inoltre anche tu riceverai copia della richiesta inviata tramite e-mail.

Gli adattamenti di cui gli studenti possono usufruire sono i seguenti: