PRESENTAZIONE

L'insegnamento "Analisi Matematica II" ha lo scopo di fornire agli studenti alcuni strumenti matematici, sia teorici che di calcolo, utili sia alla comprensione che alla risoluzione dei problemi avanzati di carattere ingegneristico che incontreranno nei corsi caratterizzanti.

L'insegnamento si focalizzerà sullo studio delle funzioni reali di più variabili reali, delle serie numeriche, di poptenze e di Fourier, della trasformata di Laplace, delle equazioni e sistemi di equazioni differenziali lineari, nonché di curve e superfici e di campi vettoriali conservativi.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

L'insegnamento si propone di fornire gli strumenti essenziali relativi allo studio delle serie di potenze, delle serie di Fourier, della trasformata di Laplace nonché l’integrazione multipla, i sistemi di equazioni differenziali lineari e un’introduzione al calcolo integro-differenziale dei campi vettoriali. L’insegnamento fornisce inoltre agli studenti le conoscenze di base dell'analisi matematica relative alla teoria delle funzioni reali di più variabili reali.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

La frequenza e la partecipazione attiva alle attività formative dell’insegnamento consentiranno allo studente di acquisire conoscenza su strumenti matematici di base necessari ad affrontare futuri studi in campo ingegneristico.

Al termine dell'insegnamento lo studente avrà conoscenze teoriche e di calcolo sufficienti

• a comprendere i concetti base relativi alle funzioni di più variabili, e allo studio dei minimi e massimi di tali funzioni, utili nella modellistica meccanica in più dimensioni;
• a calcolare integrali di funzioni di più variabili, utili nella modellistica meccanica in più dimensioni;
• a conoscere il concetto di serie numerica e di serie di potenze e a valutarne la convergenza, utile nel calcolo approssimato di grandezze in ambito numerico-computazionale;
• ad utilizzare gli strumenti propri delle serie di Fourier e delle trasformate di Laplace, mediante i quali vengono risolti molti problemi di carattere ingegneristico;
• ad analizzare e modellizzare oggetti geometrici relativi a curve e superfici, e calcolare quantità ad essi associate;
• a comprendere e risolvere modelli semplici relativi ad equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie, mediante le quali vengono modellizzati fenomeni fisici di interesse ingegneristico;
• a riconoscere un campo conservativo e a calcolarne il relativo potenziale, utile nella modellizazione fisica di fenomeni in ambito applicativo.

PREREQUISITI

Gli argomenti degli insegnamenti del I anno “Analisi Matematica I” e “Geometria”.

MODALITA' DIDATTICHE

L’attività didattica è costituita unicamente da 80 ore di lezioni frontali svolte dal docente, in presenza, nelle quali vengono introdotti gli argomenti nella loro impostazione teorica classica e contestualmente vengono risolti esercizi associati agli stessi argomenti, anche con esempi di carattere euristico-intuitivo. La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata.

Gli studenti con disabilità o con DSA possono fare richiesta di misure compensative/dispensative per l'esame. Le modalità saranno definite caso per caso insieme al Referente per Ingegneria del Comitato di Ateneo per il supporto agli studenti disabili e con DSA. Gli studenti che volessero farne richiesta sono invitati a contattare il docente dell'insegnamento con congruo anticipo mettendo in copia il proprio Referente prof. Federico Scarpa - federico.scarpa@unige.it (https://unige.it/commissioni/comitatoperlinclusionedeglistudenticondisabilita.html), senza inviare documenti in merito alla propria disabilità.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Il programma dell’insegnamento prevede lo studio teorico e la risoluzione di esercizi nei seguenti argomenti:

• Funzioni di più variabili reali. Continuità, derivate direzionali e parziali, gradiente.  Differenziabilità e piano tangente. Insiemi di livello. Massimi e minimi liberi: derivate del secondo ordine e criterio dell’Hessiano. Teorema di Schwarz.
• Integlali doppi e tripli. Baricentri, momenti d'inerzia.
• Serie numeriche. Criteri di convergenza per serie numeriche a segno costante. Serie numeriche a segni alterni e serie assolutamente convergenti. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale. Criteri di convergenza. Derivazione e integrazione di serie di funzioni (cenni). Serie di potenze, raggio di convergenza. Sviluppabilità in serie di Taylor.
• Serie di Fourier. Derivazione, integrazione e convergenza delle serie di Fourier; fenomeno di Gibbs (cenni). Serie di Fourier ed equazione del calore. Sistema trigonometrico, Basi ortonormali. Convergenza in norma 2.
• Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine qualunque. Caso omogeneo. Caso non omogeneo con forzante di tipo particolare (esponenziale per trigonometrico). Sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Caso omogeneo. Caso non omogeneo (cenni).
• Trasformata di Laplace. Proprietà. Antitrasformata di Laplace. Esempi ed esercizi. Applicazione alle eq.ni differenziali lineari.
• Curve regolari, chiuse, rettificabili. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea.
• Superfici regolari. Curve su superfici. Piano tangente. Area di superfici. Integrale di superficie.
• Integrale curvilineo di funzioni scalari. Integrale curvilineo di forme differenziali lineari.
• Forme differenziali esatte e campi conservativi. Potenziale. Formule di Gauss-Green nel piano. Flusso e integrale di superficie di campi vettoriali nello spazio. Insiemi semplicemente connessi e lemma di Poincaré. Calcolo del potenziale.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Indicazioni specifiche sulla bibliografia di riferimento verranno fornite dal docente all'inizio delle lezioni.

In generale, gli appunti presi durante le lezioni e il materiale scaricabile dalla pagina web dell'insegnamento sono assolutamente sufficienti ad un'ottima preparazione utile all'esame finale.

Più in dettaglio, risulta utile il materiale seguente:

• Dispense di teoria “Matematica II” e "Metodi matematici per l'ingegneria" del prof. Maurizio Romeo, scaricabili gratuitamente dalla pagina web dell'insegnamento;
• "Appunti sulle serie" del prof. Franco Parodi, scaricabili gratuitamente dalla pagina web dell'insegnamento;
• "Appunti sulla trasformata di Laplace" del prof. Paolo Tilli, scaricabili gratuitamente dalla pagina web dell'insegnamento;
• Fogli contenenti link a pagine web con diversi esercizi risolti, scaricabili gratuitamente dalla pagina web dell'insegnamento;
• C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica 2, 4th edition, Springer-Verlag Italia, 2014;
• M. Baronti, M., F. De Mari, R. van der Putten, I. Venturi, Calculus Problems, Springer International Publishing Switzerland, 2016.

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

https://corsi.unige.it/corsi/11976/studenti-orario

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale.

La prova scritta consiste nella risoluzione di esercizi sui diversi argomenti del corso. Lo scritto dovrà essere effettuato prima della prova orale e potrà essere sostenuto sia in appelli precedenti, che nello stesso appello in cui lo studente intende sostenere l’esame orale.

Alla prova orale possono accedere solo gli studenti che hanno precedentemente superato la prova scritta con una votazione maggiore o uguale a 16/30.

Saranno disponibili almeno 2 appelli di esame per la sessione invernale (metà gennaio e febbraio) e 3 appelli per la sessione estiva (giugno, luglio e settembre).

Per partecipare ad un appello d'esame occorre iscriversi entro la scadenza sul sito
https://servizionline.unige.it/studenti/esami/prenotazione

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

La prova scritta, obbligatoria, consiste nella risoluzione di quattro o cinque esercizi scelti tra i seguenti gruppi di argomenti del corso:

• Funzioni di più variabili (campi scalari), e loro massimi e minimi
• Integrazione delle funzioni di più variabili
• Serie e serie di potenze
• Serie di Fourier
• Trasformata di Laplace
• Integrali di linea e di superficie
• Formula di Gauss-Green
• Campi conservativi e calcolo di potenziale

La tipologia di ogni singolo esercizio esercizi è affine a quanto svolto durante le lezioni. L’esame scritto verificherà l’effettiva acquisizione delle metodologie di calcolo utili alla risoluzione degli esercizi proposti.

La prova orale, anch'essa obbligatoria e a cui lo studente accede dopo aver superato la prova scritta, verte principalmente sugli argomenti di carattere teorico svolti dal docente, e si prefigge di accertare la comprensione degli stessi, anche mediante la discussione e la giustificazione intuitiva dei concetti analitici e geometrici. In alcuni casi potrà essere chiesto di risolvere un semplice esercizio di una tipologia già affrontata e risolta durante le lezioni.

ALTRE INFORMAZIONI

Rivolgersi al docente per ulteriori informazioni non comprese nella scheda insegnamento.