PRESENTAZIONE

Il corso si propone di fornire strumenti utili per risolvere le principali equazioni differenziali alle derivate parziali. L’enfasi è posta sulle PDE del secondo ordine e sulla comprensione delle tecniche specifiche per i casi ellittico, parabolico ed iperbolico.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Al termine del corso gli studenti saranno in grado di usare delle tecniche matematiche per risolvere alcuni problemi che descrivono fenomeni reali, quali la diffusione del calore, la propagazione delle onde, ecc. Avranno in particolare appreso, attraverso un’analisi di varie applicazioni, alcuni degli strumenti più utili (trasformate di Fourier e di Laplace) alla risoluzione analitica di tali problemi. Saranno inoltre in grado di classificare le più comuni equazioni differenziali alle derivate parziali e di scegliere la tecnica più adatta alla risoluzione analitica di tali equazioni.

MODALITA' DIDATTICHE

Il modulo prevede quattro ore settimanali di lezione concentrate nel secondo semestre. Consiste in una parte teorica affiancata da esercitazioni di laboratorio svolte in Matlab.

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Analisi di fenomeni e motivazioni che portano allo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali. La fune elastica e la transizione dai sistemi discreti ai sistemi continui.
2. Le equazioni differenziali del secondo ordine. La classificazione e la forma normale. Equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.
3. Equazioni ellittiche. Proprietà delle funzioni armoniche; i problemi di Dirichlet e di Neumann, la formula di Poisson per il cerchio.
4. Le tecniche generali di soluzione separazione di variabili; la serie e la trasformata di Fourier; l'effetto Gibbs; l'analisi in modi normali; la “funzione” delta di Dirac; i casi bi-tridimensionale.
5. Le funzioni speciali: le funzioni di Bessel J,Y, I, K; le serie di Fourier Bessel e di Dini; le trasformate di Fourier in coordinate polari: la trasformata di Hankel . Applicazioni ai problemi in coordinate polari.
6. Le equazioni differenziali paraboliche; l'equazione della diffusione e del calore; descrizioni nel dominio dello spazio e del tempo; nucleo del calore.
7. Le equazioni di tipo iperbolico: l’equazione di D'Alembert, il metodo delle caratteristiche, la membrana elastica, l’interpretazione meccanico-dinamica dei modi normali; il problema di Cauchy e il dominio futuro di dipendenza.
8. PDE di ordine superiore: l'equazione biarmonica; il relativo problema di Cauchy.
9. Le equazioni non omogenee: le sorgenti distribuite e puntiformi; la funzione di Green e la sua interpretazione sistemistica come funzione di trasferimento; la descrizione con la funzione delta di Dirac.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

• A.N.Tichonov, A.A.Samarskij: Equazioni della Fisica matematica, Problemi della fisica matematica, Mosca,1982;
• R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Phisics vol I e II, Interscience, NY, 1973;
• R. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, New York: McGraw-Hill, 1999;
• P. V. O’ Neil, Advanced engineering mathematica, Brooks Cole, 2003;
• H. Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli, Bologna, 1985;
• V. I. Smirnov. Corso di Matematica superiore, Vol. 3. MIR (1978).

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

PATRIZIA BAGNERINI (Presidente)

ROBERTO CIANCI (Presidente)

ANGELO ALESSANDRI

FRANCO BAMPI

STEFANO VIGNOLO

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Secondo semestre.

Orari delle lezioni

MODULO DI METODI MATEMATICI

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

La modalità di esame consiste in una verifica orale dell’apprendimento dei contenuti del corso.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

L'esame orale verte sull'approfondimento di uno o due argomenti tra quelli trattati a lezione.

Calendario appelli

ALTRE INFORMAZIONI

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