OBIETTIVI FORMATIVI

Scopo del corso è fornire una introduzione alle idee e ai metodi dell'analisi di Fourier, sul toro, sulla retta e nel caso discreto. Tra le applicazioni considerate, si darà particolare rilievo a problemi e tecniche dell'analisi del segnale, come il teorema del campionamento e la trasformata di Gabor.

MODALITA' DIDATTICHE

Tradizionale:  Le lezioni si svolgono in maniera tradizionale. Agli studenti sarà richiesto di preparare degli esercizi periodicamente e di discuterli con il docente e gli altri studenti durante l'ora delle esercitazioni. 

PROGRAMMA/CONTENUTO

Serie di Fourier.

Ripasso su spazi di funzioni in [0; T]. Coecienti di Fourier di una serie trigonomertrica. Teoria L^2, Teoria L^1. Lemma di Riemann-Lebesgue, nucleo di Dirichlet e di Fejer e loro  proprietà. Medie di Cesaro. Denizione di identita approssimata. Convoluzione in L^1. Continuita delle traslazioni in L^1. Iniettivita della trasformata, inversione per trasformate in l^1 . Inversione in L^1 mediante identita approssimate. Teorema di Dirichlet. Enunciati dei teoremi di Du Bois Reymond,Carleson e Katznelson. Successioni a decrescenza rapida. Caratterizzazione di C-infinito. Derivate di convoluzioni. Convergenza della serie di Fourier: funzioni regolari a tratti; funzioni continue con derivata continua a tratti. Il fenomeno di Gibbs. Applicazioni: il calore della terra e il calore sul disco. Nucleo di Gauss-Weierstrass.

Trasformata di Fourier in R^n 

Spazi di funzioni su R^n . Densita di funzioni regolari in L^p . Denizione di S . Densita di S in L^p e di Cc in S . Convoluzione in Rn . Identità approssimate. Il nucleo del calore. Introduzione informale a F : serie su intervalli crescenti. Proprieta della trasformata di Fourier. Formula di moltiplicazione, teorema di convoluzione. Inversione in L^1(R^n). Formula di Poisson. Teoria L^2 . La diseguaglianza di Young. Definizione di F su L^2(R^n).  Proprietà di F . Teorema di convoluzione in L^2 . Teorema di Paley-Wiener. Teorema di Shannon.

Distribuzioni temperate.

Proprieta della trasformata di Fourier su S . Definizione di distribuzione temperata: lo spazio S'. Operazioni elementari sulle distribuzioni. Distribuzioni associate a funzioni localmente integrabili. Convergenza in S' . Definizione e proprieta della trasformata di Fourier su S'. Distribuzioni a supporto compatto. Teorema di Paley-Wiener in S'. Il problema della convoluzione in S'.

Analisi del segnale.

Trasformata di Gabor e sue proprieta fondamentali.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Introduzione all'analisi di Fourier-V. Del Prete Dispense on line.

Per consultazione

• Y. Katznelson An introduction to harmonic analysis Collocaz Bibl. DIMA 43-1968-07
• H. Dym - H. P. Mc Kean, Fourier Series and Integrals, Academic Press, 1972.
• I. Korner, Fourier Analysis,1995.
• I. Korner, Exercises for Fourier Analysis,1995.
• E. Prestini, The Evolution of Applied Harmonic Analysis. Models of the Real World Series, A Birkhäuser 2004
• G.B. Folland Fourier analysis and its applications Collocaz Bibl. DIMA 42-1992-01
• E.M. Stein and G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971.