OBIETTIVI FORMATIVI

Scopo del corso e' quello di fornire contenuti algebrico-geometrici che possono costituire supporto all'offerta culturale del curriculum applicativo (e non solo). Gli argomenti previsti nel programma del corso sono di potenziale notevole importanza per la matematica applicata e, in modo particolare, per quelle applicazioni della matematica che riguardano la ricostruzione, l'elaborazione e l'interpretazione delle immagini.

MODALITA' DIDATTICHE

Tradizionale

PROGRAMMA/CONTENUTO

Studio  di classi di famiglie di curve piane. Studio locale di una curva algebrica piana. Catalogo di curve: esempi notevoli (cubiche, quartiche razionali e curve speciali  di grado piu` alto).  

Trasformata di Hough I. Trasformata di Hough (HT) per famiglie  di curve algebriche piane.  Proprieta` di regolarita`. Esempi. Algoritmo di riconoscimento.

Trasformata di Hough II. Approfondimenti sulla nozione di Hough regolarita`: il problema delle intersezioni finite di HT. Studio di esempi.

Trasformata di Hough III. Approfondimenti sulla nozione di  trasformata  di Hough per curve  e superficie  dello spazio a tre dimensioni.

Un approccio al caso 3D.  Il Teorema del Resto Cinese ed applicazione a problemi di  ricostruzione di equazioni di superficie (a partire da equazioni di curve sezioni piane).

Applicazioni (coordinate dal docente titolare del corso di Elaborazione di Immagini). Approccio algoritmico a problemi di riconoscimento di curve in immagini utilizzando la trasformata di Hough.  Per gli studenti dell' indirizzo applicativo sono previste tre settimane (per un totale di 15 ore di cui 12 di laboratorio)  di lezioni su tecniche computazionali ed esercitazione di laboratorio che comporti il riconoscimento, anche su immagini reali,  di qualche profilo di interesse in campo astronomico o medico.

Per gli (eventuali) studenti degli indirizzi generale o didattico le  tre settimane di cui sopra  si riducono ad una, e le altre due possono, facoltativamente, essere sostitute da approfondimenti su argomenti  o seminari di carattere teorico  comunque collegati al  programma del corso.

Possibili sviluppi:

1) Curve aggiunte,  modelli birazionali di curve piane, il Teorema di Riemann--Roch,  serie lineari su curve.

2)  Problemi  di ``quasi-annullamento" di polinomi.

3) Curves splines, anche in relazione alla tecnica della trasformata di Hough.

4) Estensione della tecnica della trasformata di Hough al caso non algebrico: analisi di alcuni casi speciali.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

1) M.C. Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati and G. Monti Bragadin,  Lectures on Curves, Surfaces and  Projective Varieties---A Classical View of Algebraic Geometry,  European Mathematical Society, Textbooks in Mathematics, 9. Translated by F. Sullivan. Zurich, August 2009.

2) M.C. Beltrametti and  L. Robbiano, An algebraic  approach to Hough transforms, Journal  of Algebra, 37 (2012), 669--681.

3) M.C. Beltrametti, A.M. Massone and  M. Piana, Hough transform of  special classes of curves, SIAM J. Imaging Sci., 6(1), (2013), 391--412. 

4) X. Chen, D. Song and D. Wang, Automated Generation of Geometric Theorems from Images of Diagrams, arXivc:1406.1638v1 [cs.AI], June 6, 2014.

5) A.M. Massone, A. Perasso, C. Campi and M.C. Beltrametti, Profile detection in medical and astronomical imaging by means of the Hough transform of special classes of curves, submitted to J. Math. Imaging Vis. (2013).

6) J.D. Lawrence,  A Catalog of Special Plane Curves, Dover Publications Inc., New York (1972).

7)  J.R. Sendra, F. Winkler, S. Pe'rez-Diaz,  Rational algebraic curves---A Computer Algebra Approach, Algorithms and Computation in Mathematics, v. 22, Springer-Verlag (2007).

8) E.V. Shikin, Handbook and Atlas of Curves, CRP Press, Inc., Boca Raton (1995).

9) Materiale fornito dal docente.