PRESENTAZIONE

Il corso illustra la teoria matematica e le metodologie regolarizzanti, sia di carattere deterministico che di tipo stocastico, per la risoluzione di problemi mal posti associati a problemi inversi di carattere applicativo.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Il corso si propone di definire i problemi mal posti derivanti dalla inversione di operatori lineari e di dare una panoramica dei principali metodi numerici di regolarizzazione per tali problemi.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Il corso si propone di definire matematicamente la classe dei problemi mal posti derivanti dalla inversione di operatori lineari e non-lineari, e di dare una panoramica dei principali metodi numerici, analitici e Monte Carlo, per la risoluzione di tali problemi mediante regolarizzazione. Esempi di problemi inversi risultano essere la ricostruzione di immagini digitali astronomiche, la tomografia computerizzata per applicazioni biomedicali e civili, il telerilevamento satellitare, la prospezione geologica.

MODALITA' DIDATTICHE

Tradizionale mediante lezioni frontali. Una parte delle lezioni verrà svolta in laboratorio informatico.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Operatori lineari su spazi di Hilbert: operatori con range chiuso e non chiuso. Problemi mal posti, inversa generalizzata. Caso degli operatori compatti. Sistema singolare e metodi di regolarizzazione: algoritmi di regolarizzazione nel senso di Tikhonov.

Metodi iterativi: metodo di Landweber-Fridman e metodo del gradiente coniugato. Criteri di scelta del parametro di regolarizzazione.

Problemi di ricostruzione di immagini e deconvoluzione. Vengono analizzati i metodi di regolarizzazione già esposti adattati all’utilizzo degli strumenti propri dell’analisi di Fourier.

Approccio statistico ai problemi inversi: Maximum Likelihood e Teorema di Bayes.

Metodi Monte Carlo per risoluzione di problemi inversi non-lineari: "importance sampling" e "Monte Carlo a Catene di Markov".

Metodi per problemi inversi dinamici: filtri di Kalman e filtri a particelle.

Si considera parte integrante del corso la sperimentazione numerica effettuata in Laboratorio utilizzando il linguaggio Matlab.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

M.Bertero, P. Boccacci, 1998, An Introduction to Inverse Problems in Imaging (IOP, Bristol)

C.W.Groetsch, 1977, Generalized Inverses of Linear Operators (New York and Basel: Marcel Dekker Inc., USA)

Robert and Casella. Monte Carlo Statistical Methods. Springer, 2004.

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

CLAUDIO ESTATICO (Presidente)

ALBERTO SORRENTINO (Presidente)

FEDERICO BENVENUTO

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

Orari delle lezioni

PROBLEMI INVERSI E APPLICAZIONI

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Prova orale.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Prova orale e preliminare valutazione di un elaborato scritto di laboratorio.

ALTRE INFORMAZIONI

Prerequisiti:

Gli strumenti matematici necessari alla comprensione degli argomenti trattati sono forniti nel corso. Per una comprensione approfondita può comunque risultare utile avere qualche rudimento di:

• teoria degli operatori in spazi di Hilbert;
• teoria della probabilità;
• teoria delle catene di Markov a tempo discreto.

Modalità di frequenza: Facoltativa