PRESENTAZIONE

Le lezioni si tengono in lingua italiana.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Scopo del corso è fornire una introduzione alle idee e ai metodi dell'analisi di Fourier, sul toro, sulla retta e nel caso discreto. Tra le applicazioni considerate, si darà particolare rilievo a problemi e tecniche dell'analisi del segnale, come il teorema del campionamento e la trasformata di Gabor.

MODALITA' DIDATTICHE

Tradizionale:  Le lezioni si svolgono in maniera tradizionale. Agli studenti sarà richiesto di preparare degli esercizi periodicamente e di discuterli con il docente e gli altri studenti durante l'ora delle esercitazioni. 

PROGRAMMA/CONTENUTO

Serie di Fourier.

Ripasso su spazi di funzioni in [0; T]. Coecienti di Fourier di una serie trigonomertrica. Teoria L^2, Teoria L^1. Lemma di Riemann-Lebesgue, nucleo di Dirichlet e di Fejer e loro  proprietà. Medie di Cesaro. Denizione di identita approssimata. Convoluzione in L^1. Continuita delle traslazioni in L^1. Iniettivita della trasformata, inversione per trasformate in l^1 . Inversione in L^1 mediante identita approssimate. Teorema di Dirichlet. Enunciati dei teoremi di Du Bois Reymond,Carleson e Katznelson. Successioni a decrescenza rapida. Caratterizzazione di C-infinito. Derivate di convoluzioni. Convergenza della serie di Fourier: funzioni regolari a tratti; funzioni continue con derivata continua a tratti. Il fenomeno di Gibbs. Applicazioni: il calore della terra e il calore sul disco. Nucleo di Gauss-Weierstrass.

Trasformata di Fourier in R^n 

Spazi di funzioni su R^n . Densita di funzioni regolari in L^p . Denizione di S . Densita di S in L^p e di Cc in S . Convoluzione in Rn . Identità approssimate. Il nucleo del calore. Introduzione informale a F : serie su intervalli crescenti. Proprieta della trasformata di Fourier. Formula di moltiplicazione, teorema di convoluzione. Inversione in L^1(R^n). Formula di Poisson. Teoria L^2 . La diseguaglianza di Young. Definizione di F su L^2(R^n).  Proprietà di F . Teorema di convoluzione in L^2 . Teorema di Paley-Wiener. Teorema di Shannon.

Distribuzioni temperate.

Proprieta della trasformata di Fourier su S . Definizione di distribuzione temperata: lo spazio S'. Operazioni elementari sulle distribuzioni. Distribuzioni associate a funzioni localmente integrabili. Convergenza in S' . Definizione e proprieta della trasformata di Fourier su S'. Distribuzioni a supporto compatto. Teorema di Paley-Wiener in S'. Il problema della convoluzione in S'.

Analisi del segnale.

Trasformata di Gabor e sue proprieta fondamentali.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Introduzione all'analisi di Fourier-V. Del Prete Dispense on line.

Per consultazione

• Y. Katznelson An introduction to harmonic analysis Collocaz Bibl. DIMA 43-1968-07
• H. Dym - H. P. Mc Kean, Fourier Series and Integrals, Academic Press, 1972.
• I. Korner, Fourier Analysis,1995.
• I. Korner, Exercises for Fourier Analysis,1995.
• E. Prestini, The Evolution of Applied Harmonic Analysis. Models of the Real World Series, A Birkhäuser 2004
• G.B. Folland Fourier analysis and its applications Collocaz Bibl. DIMA 42-1992-01
• E.M. Stein and G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971.

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

GIOVANNI ALBERTI (Presidente)

FILIPPO DE MARI CASARETO DAL VERME (Presidente)

SILVIA VILLA

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

Orari delle lezioni

ANALISI DI FOURIER

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Orale

Calendario appelli

ALTRE INFORMAZIONI

Pagina Web dell’insegnamento: http://www.dima.unige.it/~delprete/APPLICATA/index.html

Modalità di frequenza: Consigliata.
La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata.

Modalità di iscrizione agli esami: Inscrizione per email almeno una settimana prima dell'appello.