OBIETTIVI FORMATIVI

Soluzione di problemi ai valori iniziali o al contorno per le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti del secondo ordine (equazione delle onde, del calore, di Laplace, di Helmoltz).

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

• Nel corso vengono studiati i metodi di soluzione di problemi al contorno e al contorno-iniziali per gli operatori differenziali lineari, alle derivate parziali, del secondo ordine, a coefficienti costanti (di Laplace, del calore, delle onde).
• Particolare importanza viene data al metodo della funzione di Green. Per questo viene fornita nel corso un'introduzione alla teoria delle distribuzioni e all'Analisi di Fourier delle distribuzioni temperate.

MODALITA' DIDATTICHE

Modalità di erogazione dell'insegnamento: tradizionale - Modalità di frequenza: obbligatoria.

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. LA TEORIA DELLE DISTRIBUZIONI

   1. Funzioni test e distribuzioni

      1. Lo spazio delle funzioni test

      2. Lo spazio delle distribuzioni

      3. Supporto di una distribuzione

      4. Distribuzioni definite da funzioni localmente integrabili

      5. Esempi di distribuzioni non definite da funzioni localmente integrabili

      6. Moltiplicazione per funzioni lisce

      7. Pullback e immagine di una distribuzione

   2. Derivazione delle distribuzioni

      1. Derivata di una distribuzione

      2. Proprieta' delle derivate delle distribuzioni

      3. Primitive delle distribuzioni su R

      4. Esempi: n=1

      5. Esempi: n≥2

   3. Prodotti diretti e convoluzioni di distribuzioni

      1. Definizione e principali proprietà del prodotto diretto (tensore) tra distribuzioni

      2. La convoluzione tra distribuzioni

      3. Proprietà della convoluzione

      4. Esempi di convoluzioni

   4. Distribuzioni temperate e trasformate di Fourier

      1. Lo spazio S delle funzioni test a decrescenza rapida

      2. Lo spazio S' delle distribuzioni temperate

      3. Esempi di distribuzioni temperate

      4. Trasformate di Fourier di funzioni in S

      5. Trasformate di Fourier di distribuzioni in S'

      6. Proprietà delle trasformate di Fourier

      7. Le trasformate di Fourier delle convoluzioni

      8. La formula di somma di Poisson e le distribuzioni periodiche

      9. Esempi: n=1

      10. Esempi: n≥2

2. SOLUZIONI FONDAMENTALI E IL PROBLEMA DI CAUCHY

   1. Introduzione

      1. Soluzioni generalizzate di equazioni differenziali lineari

      2. Soluzioni fondamentali

      3. Equazioni non omogenee

      4. Soluzioni fondamentali per operatori differenziali lineari alle derivate ordinarie

      5. Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali lineari ordinarie a coefficienti costanti

   2. Il problema di Cauchy per l'equazione delle onde

      1. Analisi di Fourier dell' equazione delle onde e le soluzioni fondamentali dell'equazione delle onde

      2. Le proprieta' delle soluzioni fondamentali dell' operatore d' onda (analisi di Fourier delle soluzioni fondamentali)

      3. Il problema di Cauchy generalizzato per l' equazione delle onde

      4. Soluzione del problema di Cauchy generalizzato

      5. Soluzione del problema di Cauchy classico (potenziali ritardati)

      6. La propagazione delle onde in una, due e tre dimensioni spaziali

   3. Il problema di Cauchy per l' equazione del calore

      1. Soluzioni fondamentali dell' equazione del calore

      2. Il problema di Cauchy generalizzato per l' equazione del calore

      3. Soluzioni del problema di Cauchy.

3. PROBLEMI MISTI PER LE EQUAZIONI DELLE ONDE E DEL CALORE

   1. Il metodo della separazione delle variabili

   2. Esempi di problemi misti per l'equazione del calore

   3. Esempi di problemi misti per l' equazione delle onde

4. PROBLEMI AL CONTORNO PER EQUAZIONI DI TIPO ELLITTICO

   1. Introduzione al problema agli autovalori

   2. Problema di Sturm-Liuville

      1. La funzione di Green

      2. Proprietà degli autovalori e delle autofunzioni

      3. Calcolo esplicito di autovalori e autofunzioni

   3. Problemi legati al Laplaciano

      1. Proprietà delle funzioni armoniche

      2. Il metodo della separazione delle variabili

      3. Esempi

   4. Soluzioni fondamentali per il Laplaciano

      1. Potenziale Newtoniano

      2. Potenziale di volume

      3. Potenziale di strato semplice e di strato doppio

      4. Proprietà dei potenziali di strato semplice e doppio

   5. Problemi al contorno per le equazioni di Laplace e di Poisson

      1. Il metodo della separazione delle variabili per il Laplaciano

      2. Esempi di problemi al contorno per l'equazione di Laplace

      3. Definizione e proprieta' della funzione di Gren

      4. Soluzione di problemi al contorno per l'equazione di Poisson con la funzione di Green

      5. Formula di Poisson

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Testi di riferimento:

• F.G. Friedlander, Introduction to the theory of distributions, Cambridge UP, 1982
• I. Stakgold, Green's functions and boundary value problems, Wiley 1979
• L.Schwartz, Methodes mathematiques pour les sciences physiques, Hermann 1965
• Note delle lezioni fornite dal docente.