OBIETTIVI FORMATIVI

Fornire le nozioni fondamentali sulla teoria delle rappresentazioni dei gruppi finiti e compatti e descrivere le loro applicazioni alla Meccanica Quantistica. Fornire le nozioni fondamentali sui gruppi di Lie di Matrici e le loro algebre di Lie.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

• Alla fine del corso lo studente dovrebbe conoscere le rappresentazioni irriducibili del gruppo simmetrico, di SU(2) (e del gruppo delle rotazioni) e di SU(3)
• Dovrebbe essere in grado di capire i ruoli che queste rappresentazioni giocano nella Meccanica Quantistica e in alcuni modelli di particelle elementari
• Dovrebbe essere in grado di usare la teoria delle rappresentazioni nella soluzione esplicita di problemi

MODALITA' DIDATTICHE

Modalità di erogazione tradizionale, frequenza obbligatoria.

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Proprietà generali dei gruppi

   1. Review di definizioni

   2. Esempi di gruppi finiti

      1. Gruppo ciclico di ordine n

      2. Il gruppo simmetrico

      3. Il gruppo diedrale

      4. Altri esempi

   3. Esempi di gruppi infiniti

   4. Azioni di un gruppo e classi di coniugazione

2. Rappresentazioni dei gruppi finiti

   1. Rappresentazioni

      1. Fatti generali

      2. Rappresentazioni irriducibili

      3. Somma diretta di rappresentazioni

      4. Operatori di intreccio e lemma di Schur

   2. Caratteri e relazioni di ortogonalità

      1. Funzioni su un gruppo, elementi di matrice

      2. Caratteri delle rappresentazioni e relazioni di ortogonalità

      3. Tavola dei caratteri

      4. Applicazioni al problema della decomposizione delle rappresentazioni

   3. La rappresentazione regolare

      1. Definizione

      2. Carattere della rappresentazione regolare

      3. Decomposizione isotipica

      4. Base dello spazio vettoriale delle funzioni di classe

   4. Operatori di proiezione

   5. Rappresentazioni indotte

      1. Definizione

      2. Interpretazione geometrica

3. Rappresentazioni dei gruppi compatti

   1. Gruppi compatti

   2. La misura di Haar

   3. Rappresentazioni dei gruppi topologici e Lemma di Schur

      1. Fatti generali

      2. Coefficienti di una rappresentazione

      3. Operatori di intreccio

      4. Operazioni sulle rappresentazioni

      5. Lemma di Schur

   4. Rappresentazioni dei gruppi compatti

      1. Completa riducibilità

      2. Relazioni di ortogonalità

4. Algebre di Lie e Gruppi di Lie Lineari

   1. Algebre di Lie

      1. Definizioni ed esempi

      2. Morfismi

      3. Relazioni di commutazione e costanti di struttura

      4. Forme reali

      5. Rappresentazioni di algebre di Lie

   2. Review delle proprietà' dell'esponenziale di matrici

   3. Sottogruppi a un parametro di GL(n,K)

   4. Gruppi di Lie lineari

   5. L'algebra di Lie di un gruppo di Lie lineare

   6. Morfismi di gruppi e di algebre di Lie

      1. Differenziale di un morfismo di gruppi di Lie

      2. Differenziale della rappresentazione di un gruppo di Lie

      3. La rappresentazione aggiunta

5. I gruppi SU(2) e SO(3)

   1. Le algebre di Lie su(2) e so(3)

   2. L'omomorfismo di ricoprimento di SU(2) su SO(3)

      1. Il gruppo di Lie SU(2)

      2. Il gruppo SO(3)

      3. La proiezione di SU(2) su SO(3)

6. Rappresentazioni di SU(2) e di SO(3)

   1. Rappresentazioni irriducibili di sl(2,C)

      1. Le rappresentazioni

      2. L'operatore di Casimir

      3. Gli operatori e

   2. Rappresentazioni di SU(2)

      1. Le rappresentazioni

      2. Caratteri delle rappresentazioni

   3. Rappresentazioni di SO(3)

7. Armoniche sferiche

   1. Review di L2(S2)

   2. Polinomi armonici

      1. Rappresentazioni di gruppi su spazi di funzioni

      2. Spazi di polinomi armonici

      3. Rappresentazioni di SO(3) in spazi di polinomi armonici

   3. Le armoniche sferiche

      1. Rappresentazioni di SO(3) in spazi di armoniche sferiche

      2. L'operatore di Casimir

      3. Basi negli spazi di armoniche sferiche

      4. Formule esplicite

8. Rappresentazioni di SU(3)

   1. Review di sl(n,C). Rappresentazioni di sl(3,C)

      1. Review di sl(n,C)

      2. Il caso sl(3,C)

      3. Le basi e dell' algebra di Cartan

      4. Rappresentazioni di sl(3,C) e di SU(3)

   2. Rappresentazione aggiunta e radici

   3. La rappresentazione fondamentale e la sua duale

      1. La rappresentazione fondamentale

      2. Duale della rappresentazione fondamentale

   4. Peso più alto di una rappresentazione finito-dimensionale

      1. Peso più alto

      2. Pesi come combinazioni lineari dei

      3. Rappresentazioni finito dimensionali e pesi

      4. Altri esempi: le rappresentazioni 6 e 10

   5. Prodotto tensore di rappresentazioni

   6. La Eightfold Way

      1. Barioni

      2. Mesoni

      3. Risonanze barioniche

   7. Quark e antiquark.

9. Applicazioni delle rappresentazioni del gruppo simmetrico e del gruppo delle rotazioni in Meccanica Quantistica

   1. Rappresentazioni del gruppo simmetrico

      1. Classi di coniugazione del gruppo simmetrico

      2. Rappresentazioni e schemi di Young

      3. Azione del gruppo simmetrico su prodotti tensori

   2. Rappresentazioni di gruppi compatti e teoria delle perturbazioni

      1. Struttura della molteplicità di un autovalore di una Hamiltoniana

      2. Divisione di un autovalore degenere per una perturbazione

   3. Sistemi a una particella

      1. Molteplicità degli autovalori per un elettrone in un campo centrale

      2. L'interazione spin-orbita e la struttura fine

      3. L' efetto Stark e l' effetto Zeeman

   4. Sistemi formati da particelle identiche

      1. Il Principio di Pauli e l'atomo con N elettroni

      2. Autovalori dell' Hamiltoniana

      3. Termini spettroscopici

      4. L' interazione spin-orbita. Multipletti

TESTI/BIBLIOGRAFIA

• W. Miller, Symmetry groups and their applications, Academic Press 1972
• S. Sternberg, Group theory and physics, Cambridge University Press 1994
• B. Hall, Lie groups Lie algebras and representations, Springer 2004
• Vengono distribuite dal docente le note delle lezioni