OBIETTIVI FORMATIVI

Lo scopo del corso è fornire una introduzione alla teoria delle varietà algebriche, con studio di esempi notevoli e con particolare riguardo al caso delle curve, trattando con metodi classici anche alcuni argomenti avanzati. Le conoscenze fornite sono utili sia per il proseguimento degli studi nel settore algebrico-geometrico sia per un approccio ad alcuni problemi in ambito applicativo.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Obiettivo del corso è quello di fornire conoscenze di base utili sia per il proseguimento degli studi nel settore  algebrico-geometrico che per un approccio ad alcuni problemi in ambito applicativo. La linea guida è quella di  fornire una introduzione alla teoria delle  varieta` algebriche, con studio di esempi notevoli, e con particolare riguardo al caso delle curve, trattando con metodi classici anche alcuni argomenti avanzati. Si evidenzia l'importanza  di contenuti algebrico-geometrico in  applicazioni (per esempio, in problemi di riconoscimento di immagini). A questo proposito, sono previsti interventi di esperti su attuali problematiche nell’ambito applicativo (per un totale di 6-8 ore).

MODALITA' DIDATTICHE

Tradizionale: DA AGGIORNARE I corsi di Istituzioni di Geometria Superiore (IGS-LT) e Istituzioni di Geometria Superiore (IGS-LM) sono di fatto ``lo stesso corso", svolgendosi contemporaneamente con identico programma. La sola differenza (che giustifica gli 8 crediti per l'indirizzo applicativo, invece dei 7 per gli indirizzi generale e didattico) sono le presenze ai previsti contributi di esperti su problematiche di interesse applicativo (cui, peraltro, sono invitati tutti gli studenti).

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Alcune nozioni di base. Esempi di curve affini e proiettive (rappresentazione parametrica). Il corpo delle frazioni di un anello. Preliminari sulle varietà algebriche. Varietà affini e proiettive.  Ordine e dimensione di una varietà proiettiva. I casi particolari di ipersuperficie e curve.

2. Ipersuperficie dello spazio proiettivo. Definizione e proprietà generali. Molteplicità di  una ipersuperficie in un punto. Cono tangente. Il caso delle superficie dello spazio proiettivo a tre dimensioni. Esempi notevoli. Superficie rigate sviluppabili.

3. Sistemi lineari. Sistemi lineari di ipersuperficie. Ipersuperficie di un sistema lineare che soddisfano date condizioni. Il caso delle curve piane. Punti base di un sistema   lineare; il Primo Teorema di Bertini. Il gruppo Jacobiano di una serie lineare su una retta. Corrispondenze algebriche tra rette proiettive. 

4. Curve proiettive. Modelli birazionali di una curva proiettiva non singolare. Curve piane: flessi,  punti multipli ordinari, nodi e cuspidi. Molteplicità di intersezione. Teorema di Bézout per curve piane (dimostrazione in un caso speciale ed applicazione al teorema  di Pascal). Curve di Bézier (cenni a  curve  spline).

5. Il genere di una curva proiettiva. Serie lineari su una curva proiettiva; il gruppo Jacobiano. Il genere di una curva proiettiva. Teorema di Riemann ed invarianza birazionale del genere. Classe e formula del genere per  una curva piana dotata di sole singolarità ordinarie.  Curve  razionali,  parametrizzazioni razionali. Curve razionali normali. Studio di esempi notevoli. Monoidi (con estensione al caso delle ipersuperficie).

6. Curve ellittiche. Curve ellittiche normali. Cubiche piane (modelli birazionali di curve ellittiche). Birapporto e invariante  assoluto di quattro elementi. Il Teorema di G. Salmon e modulo di una cubica piana. Struttura di gruppo abeliano su una cubica piana non singolare. Il caso complesso, reale e razionale. Classificazione delle curve proiettive di grado 3.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

1) M.C. Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati and G. Monti Bragadin,  Lectures on Curves, Surfaces and  Projective Varieties---A Classical View of Algebraic Geometry, European Mathematical Society, Textbooks in Mathematics (ETB). Translated by F. Sullivan, (2009).

2) M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, London Math. Soc., Student Texts 12,(1988).

3) L. Badescu, Note sul Corso: Istituzioni di Geometria Superiore 2 (disponibile in rete: http://www.dima.unige.it/~badescu).

4) R. Hartshorne, Algebraic Geometry, GTM 52,  Springer-Verlag, 1977.

5)  J. R. Sendra, F. Winkler, S. Pe'rez-Diaz,  Rational algebraic curves---A Computer Algebra Approach, Algorithms and Computation in Mathematics, v. 22, Springer-Verlag (2007).

6) Materiale fornito dal docente.

Per applicazioni (computer vision, CAD,  curve spline, crittografia):

7) G. Farin, Curves and surfaces  for computer aided geometric design, fifth ed. Morgan Kaufmann, (2001).

8) R. Hartley and A. Zissermann, Multiple View Geometry in Computer Vision, Second Edition,  Cambridge University Press, (2004).

9) Spline Methods Draft, T. Lyche and K. Morgen, Department of Informatics, Centre of Mathematics for Applications, University of Oslo, (2008).

10) J. H. Silverman, Elliptic curves and cryptography. Public-key cryptography, 91—112, Proc. Sympos. Appl. Math. Soc., Providence, RI, 2005.

10) L. C. Washington, Elliptic Curves—Number Theory and  Cryptography, Second Edition, Discrete Mathematics and its Applications, Chapman & Hall/CRC, (2008).