OBIETTIVI FORMATIVI

Introduzione elementare ai concetti ed ai metodi della geometria differenziale moderna.

MODALITA' DIDATTICHE

Tradizionale: Il sostantivo "erogazione" è qui usato in senso improprio nel senso di "presentazione" o "esposizione" delle lezioni. Ecco, per esempio, la definizione che si legge nel Grande Dizionario della Lingua Italiana di Salvatore Battaglia: "Erogazióne, sf. L'erogare, il destinare somme di denaro. – In partic.: l'elargire somme per beneficenza; generosità, munificenza. – In senso concreto: la somma erogata, l'aiuto prestato. 2. Distribuzione, emissione (di acqua, di luce elettrica, di gas). – Anche scherz."

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Varietà differenziabili: definizione di varietà topologica ed esempi; atlanti differenziabili, compatibilità tra atlanti; definizione di varietà differenziabile ed esempi (sfere, spazi proiettivi, varietà prodotto); coordinate locali; applicazioni differenziabili; fascio delle funzioni differenziabili; partizione dell’unità; spiga dei germi di funzioni differenziabili.

2. Spazio tangente e campi vettoriali: spazio delle derivazioni della spiga dei germi di funzioni differenziabili e spazio dei differenziali; vettori tangenti a curve differenziabili; spazio tangente e spazio cotangente; differenziale di un’applicazione differenziabile in un punto; codifferenziale; nozioni di immersione, submersione ed embedding; teorema della funzione inversa; curve in R3 (formule di Frenet-Serret), sottovarietà di Rn e altri esempi; fibrati tangente e cotangente; campi vettoriali e 1-forme differenziali; struttura di algebra di Lie sullo spazio dei campi vettoriali (operazione di commutatore); curve integrali e flusso locale di un campo vettoriale; nozione di gruppo a 1 parametro di diffeomeorfismi; esempio del flusso di Jacobi-Kronecker sul toro; derivata di Lie LXY; distribuzioni di rango k; sottovarietà integrali di una distribuzione; teorema di Frobenius.

3. Elementi di calcolo tensoriale: moduli su un anello (A-moduli) e applicazioni bilineari; prodotto tensoriale di A-moduli: principali proprietà del prodotto tensoriale ed esempi; algebra tensoriale e algebra esterna di uno spazio vettoriale; campi tensoriali e forme differenziali su una varietà differenziabile; fibrato delle forme differenziali; differenziale esterno di Cartan; derivata di Lie di un campo tensoriale e di una forma differenziale lungo un campo vettoriale; formula di Cartan; forme di volume e orientazione di una varietà differenziabile; coomologia di de Rham; integrazione di forme differenziali e teorema di Stokes.

4. Gruppi di Lie e loro algebre di Lie: definizione di gruppo di Lie e di omomorfismo di gruppi di Lie; i gruppi GL(n; R), GL(n;C), O(n), SO(n), U(n), SU(n); traslazioni sinistre e campi vettoriali invarianti a sinistra; isomorfismo (di spazi vettoriali) tra spazio tangente nell’identità e spazio dei campi vettoriali invarianti a sinistra; algebra di Lie di un gruppo di Lie; flusso di un campo invariante a sinistra; l’algebra di Lie di GL(n; R); applicazione esponenziale exp: Lie G → G e sue proprietà principali; le algebre di Lie di SL(n; R), O(n), SO(n), U(n), SU(n); caratterizzazione di exp: sl(2; R)→SL(2; R); quaternioni e gruppo Sp(1); azione di un gruppo di Lie su una varietà differenziabile (nozioni di orbita, gruppo di isotropia, stabilizzatore); spazi omogeni (SO(3)/SO(2) ≈ S2 e altri esempi).

5. Introduzione alla geometria riemanniana: metriche riemanniane e isometrie; flusso geodetico; superfici immerse in E3; applicazione di Gauss e curvatura gaussiana; theorema egregium; teorema di Gauss-Bonnet; superfici a curvatura costante negativa e geometria iperbolica; forme armoniche e operatore di Hodge; connessioni lineari sul fibrato tangente; connessione di Levi-Civita; trasporto parallelo e geodetiche; esempi e applicazioni (equazioni di Lagrange in meccanica analitica); coordinate normali geodetiche; tensore di curvatura di Riemann; curvatura sezionale; sottovarietà minime.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

C. Bartocci, Algebra multilineare, appunti in forma preliminare, 1998.

–––, Notes in Linear Algebra, 2012

–––, Note sullo spazio tangente, 2013

–––, Notes on the structure of the Lorentz group, 2014

M. Berger e B. Gostiaux, Géométrie différentielle: variétes, courbes et surfaces, Presses Universitaires de France, Paris 1987 (trad. inglese: Differential Geometry: Manifolds, Curves, and Surfaces, Springer-Verlag, New York 1988)

T. Bröcker e T. tom Dieck, Representations of Compact Lie Groups, Springer-Verlag, New York 1985.

M. Do Carmo, Geometria riemanniana, IMPA, Rio de Janeiro 2005.

N. Hitchin, Differentiable Manifolds, 2012

–––, Surfaces in R^3

J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg 1995.

F. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, second edition, Springer-Verlag, New York, 1983.