OBIETTIVI FORMATIVI

In questo insegnamento verranno presentati i concetti di base della meccanica quantistica, mettendo in risalto le tecniche matematiche necessarie alla formalizzazione rigorosa di questa teoria. In particolare, si studierà la struttura algebrica delle osservabili quantistiche e si analizzeranno i teoremi necessari alla rappresentazione di quest'algebra. Infine verranno utilizzati alcuni strumenti della teoria degli operatori e dell'analisi sugli spazi di Hilbert per derivare le equazioni di evoluzione di Schrödinger e di Heisenberg e per discuterne le loro soluzioni.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

A partire da alcuni concetti base della meccanica quantistica, che verranno richiamati all'inizio del corso, l'insegnamento pone in evidenza le tecniche matematiche indispensabili al fine di formalizzare la meccanica quantistica in un contesto matematico rigoroso. Il perseguimento di tale obiettivo richiede di prendere in esame la struttura algebrica canonica di cui è dotato l'insieme delle osservabili quantistiche. Si è così indotti in maniera naturale a prendere in considerazione i teoremi fondamentali che consentono di determinare le rappresentazioni dell'algebra delle osservabili quantistiche e di studiarne il comportamento. In questo modo si passa da un approccio algebrico astratto ad uno concreto, basato sulla teoria degli operatori su spazi di Hilbert. In particolare, si giunge così alla descrizione concreta della particella quantistica e alla descrizione del suo comportamento dinamico mediante l'equazione di Schrödinger. Verso la fine del corso, le applicazioni ad esempi concreti di interesse fisico richiedono di sviluppare alcune tecniche proprie della teoria degli operatori autoaggiunti illimitati su spazi di Hilbert.

MODALITA' DIDATTICHE

Lezioni frontali.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Osservazioni preliminari di carattere fisico

• Crisi della fisica classica a livello atomico.

Descrizione algebrica di un sistema fisico

• Sistemi hamiltoniani classici; stati e osservabili.
• Descrizione delle osservabili tramite C*-algebre.
• Trattazione matematica delle C*-algebre (sia nel caso commutativo che in generale).

Sistemi quantistici e non-commutatività

• Principio di Heisenberg e non-commutatività.
• Stati quantistici e il teorema di rappresentazione di Gelfand-Neimark-Segal (GNS).

La particella quantistica

• Algebre di Weyl e gruppo di Heisenberg.
• Il teorema di unicità di von Neumann.
• Costruzione della rappresentazione di Schrödinger.
• Stati gaussiani.

L'equazione di Schrödinger

• Automorfismi dell'evoluzione temporale e loro rappresentazione (Heisenberg).
• La particella quantistica libera.
• Operatori autoaggiunti illimitati.

Esempi e applicazioni

• Il principio di sovrapposizione.
• L'oscillatore armonico quantistico.
• La particella quantistica in una buca di potenziale.
• L'atomo d'idrogeno.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Per questo corso verranno fornite delle dispense. Di volta in volta saranno anche suggeriti alcuni testi di riferimento utili ad approfondire la preparazione.