OBIETTIVI FORMATIVI

L'insegnamento descrive i modelli fisico-matematici per la propagazione di onde sonore ed onde elettromagnetiche, e caratterizza i problemi di scattering diretto e inverso associati a tali modelli. Per tali problemi vengono inoltre presentati alcuni metodi di risoluzione, di carattere sia analitico, sia numerico.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

L’insegnamento ha lo scopo di fornire agli studenti gli strumenti matematici di base necessari ad affrontare i problemi diretti ed inversi inerenti la propagazione di onde sonore ed onde  elettromagnetiche.

Al termine del corso lo studente avrà acquisito conoscenze teoriche sufficienti

• ad identificare e comprendere i fenomeni di propagazione acustica ed elettromagnetica, sulla base dei modelli fisici associati;
• ad analizzare e risolvere matematicamente problemi di propagazione, sia mediante risoluzione analitica nei casi più semplici, sia mediante risoluzione approssimata in contesti di carattere più generale;
• ad utilizzare specifici strumenti matematici di risoluzione;
• a trattare correttamente le problematiche connesse alla risoluzione dei problemi inversi associati ai modelli di propagazione;
• ad applicare strumenti di carattere numerico-computazionale a tali problemi, utili ad una successiva risoluzione al calcolatore in applicazioni reali.

MODALITA' DIDATTICHE

L’attività didattica è costituita unicamente da lezioni frontali svolte dai docenti, nelle quali vengono introdotti e spiegati gli argomenti nella loro impostazione teorica classica. La frequenza, sebbene non obbligatoria, è fortemente consigliata.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Studio della propagazione di onde acustiche in fluidi perfetti, e successiva introduzione delle equazioni di Eulero, le quali esprimono i legami tra le quantità meccaniche pressione, velocità e densità delle particelle del mezzo in cui l’onda si propaga.

Equazione delle onde di D’Alembert (equazione differenziale alle derivate parziali, ossia PDE), ottenuta delle equazioni di Eulero mediante opportune ipotesi di linearità.

Equazione di Helmholtz (PDE): “DELTA u(x) + k^2(x) u(x) = 0”, che caratterizza tutti i problemi di scattering, ottenuta come semplificazione dell’equazione delle onde di D’Alembert nelle ipotesi di tempo-armonicità.

Introduzione e risoluzione del problema (diretto) di scattering: determinare la soluzione (radiativa) u dell’equazione di Helmholtz, la quale rappresenta l’onda che si propaga, detta appunto onda scatterata, in presenza di una disomogeneità del mezzo in cui si propaga l’onda, come ad esempio un ostacolo, rappresentata dalla funzione nota k^2(x), e di opportune condizioni al contorno.

Risoluzione analitica dell’equazione di Helmholtz, esplicita solo in casi particolari con simmetrie semplificatrici, ed in generale mediante sviluppo in serie di opportune funzioni base.

Introduzione e risoluzione del problema inverso di scattering (mal posto): determinare informazioni sul mezzo in cui l’onda si propaga, ossia determinare k^2(x), conoscendo l’onda scatterata u su un qualche dominio (o i suoi effetti lontano dall’ostacolo, detto far field pattern).

Formulazione integrale di Lipmann-Schwinger dell’equazione differenziale di Helmholtz, e sua risoluzione.

Studio dello scattering elettromagnetico: approccio differenziale e approccio integrale, mediante opportuna caratterizzazione dell’equazione di Helmholtz e dell’equazione di Lipmann-Schwinger. Approssimazione di Born dell’equazione di Lipmann-Schwinger, risoluzione mediante tecniche di punto fisso, e approssimazione dell'ottica fisica.

Analisi della mal posizione del problema inverso e approccio regolarizzante.

Metodi qualitativi (Linear Sampling Method) e quantitativi per la risoluzione approssimata del problema inverso.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Gli appunti presi durante le lezioni sono sufficienti alla preparazione dell'esame. Verranno comunque distribuite le dispense del corso. Eventuali ulteriori testi verranno indicati nel corso delle lezioni.