PRESENTAZIONE

La modellistica matematica ha lo scopo di creare e studiare modelli matematici di fenomeni fisici per renderne intellegibili le proprieta', la risoluzione di problemi e la previsione di eventi connessi al fenomeno.

Obiettivo del corso è fornire le conoscenze matematiche utili per modellizzare fenomeni fisici quali il trasporto diffusivo  del calore, vibrazione di una corda e il problema generale dell'elettrostatica in assenza di sorgenti del campo evidenziando le proprietà delle soluzioni.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Il corso fornisce gli strumenti fondamentali del calcolo differenziale su varieta', della teoria dei sistemi di equazioni differenziali e delle serie; capacita' di comprendere ed esprimersi usando, per le applicazioni, il linguaggio introdotto

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

La partecipazione attiva al corso e alle attività formative connesse consentiranno allo studente di

• conoscere l'analisi di Fourier di una funzione e analizzarne il tipo di convergenza;
• classificare una equazione alle derivate parziali lineare del secondo ordine e ridurla in forma canonica;
• risolvere per serie il problema di Cauchy-Dirichlet e il problema di Neumann per l'equazione del calore monodimesionale e analizzare le proprietà delle soluzioni;
• risolvere per serie il problema di Cauchy-Dirichlet e il problema di Neumann per l'equazione delle onde monodimesionale e analizzare le proprietà delle soluzioni;
• risolvere con il metodo di D'Alembert il problema di Cauchy per l'equazione delle onde monodimesionale e analizzare le proprietà delle soluzioni;
• conoscere le proprietà delle funzioni armoniche e risolvere problemi connessi a queste proprietà;
• analizzare le proprietà delle soluzioni dei problemi di Dirichlet e di Neumann per l'equazione di Poisson e, in alcuni casi, determinare esplicitamente la soluzione;
• conoscere alcuni elementi basilari del calcolo differenziale per funzioni  di variabile complessa e risolvere problemi connessi.

PREREQUISITI

Sono prerequisiti essenziali per la comprensione degli argomenti del corso la conoscenza del calcolo differenziale e integrale per le funzioni di una e più variabili e la conoscenza delle proprietà degli spazi lineari. Per questa ragione è raccomandato il superamento degli esami di Geometria, Analisi Matematica 1 e Analisi Matematica 2.

MODALITA' DIDATTICHE

L'insegnamento  è articolato in 60 ore di lezioni frontali di cui, indicativamente, 36 ore dedicate all'esposizione e comprensione delle nozioni teoriche e 24 all'applicazione mediante esercizi dei risultati teorici. Lo studente oltre alla frequenza delle lezioni frontali dovrà riuscire a risolvere gli esercizi proposti dal docente e che saranno pubblicati su Aulaweb. Durante il semestre potranno essere proposti allo studente dei test di autovalutazione.

Nel caso in cui le lezioni non possano essere tenute in presenza, saranno tenute su canali Teams.

PROGRAMMA/CONTENUTO

• Serie di Fourier.       

Nozione di prodotto scalare, norma, norma quadratica, sistema ortonormale. Serie di Fourier, coefficienti di Fourier. Formula di Parseval. Base trigonometrica. Teoremi di convergenza. Sviluppi in serie di soli seni e di soli coseni. Serie di Fourier in forma complessa.

• Equazioni alle derivate parziali lineari del secondo ordine.

Classificazione e riduzione in forma canonica.

• Equazione del calore monodimensionale.

Problema di Cauchy-Dirichlet e Neumann. Teoremi di esistenza. Analisi di Fourier delle soluzioni. Temperatura stazionaria.

• Equazione delle onde monodimensionale.

Problema di Cauchy-Dirichlet e Neumann. Teoremi di esistenza. Analisi di Fourier delle soluzioni. Formula di D'Alembert.

• Funzioni armoniche.

Richiami sul Teorema della divergenza e le formule di Green. Definizone di funzione armonica. Principio del massimo. Proprietà della media. Laplaciano in coordinate polari. Problema di Dirichlet interno, teorema di esistenza e unicità. Metodo di Fourier. Buona posizione del problema di Dirichlet interno. Formula di Poisson per il cerchio e la sfera. Problema di Neumann interno. Teorema di esistenza.

• Funzioni di variabile complessa.

Funzioni olomorfe. Condizioni di Cauchy-Riemann. Integrali. Teorema di Cauchy. Formula integrale di Cauchy. Trasformazioni conformi.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

• G. B. Folland, Fourier Analysis and its applications. Pure and applied undergraduate texts. AMS. ( 2009 )
• J. Brown, R. Churchill, Complex variables and applications. McGraw-Hill. Boston. ( 2003 )

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

ROBERTUS VAN DER PUTTEN (Presidente)

CLAUDIO CARMELI

STEFANO VIGNOLO (Presidente Supplente)

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Le lezioni iniziano nel secondo semestre.

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste in una parte scritta ed una orale.
L'esame scritto è superato se lo studente ha ottenuto un voto maggiore o uguale a 13. Per partecipare alla prova scritta occorre
iscriversi almeno tre giorni prima della data dell'esame sul sito
https://servizionline.unige.it/studenti/esami/prenotazione

Durante l'esame scritto lo studente non può consultare testi né appunti.
La prova orale può essere sostenuta nell'appello della prova scritta o in uno dei successivi ma sempre nella medesima sessione. Il voto finale è una media pesata dei risultati ottenuti nelle due prove.
Per gli studenti che hanno ottenuto un voto maggiore od uguale a 18 nella prova scritta, l'esame orale è facoltativo.

Nel caso in cui non sia possibile fare la prova scritta in presenza, l'esame sarà esclusivamente orale utilizzando i canali Teams.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

La prova scritta consiste nella risoluzione di alcuni problemi a risposta aperta nei quali lo studente è chiamato a giustificare in maniera breve ma esauriente i passaggi che permettono la risoluzione del problema. Lo studente dovrà quindi dimostrare di saper applicare i concetti teorici svolti a lezione secondo le tecniche risolutive apprese o, eventualmente, secondo tecniche originali.

La valutazione terrà conto principalmente della correttezza dei risultati teorici applicati e delle capacità intuitive e deduttive acquisite nonché del rigore nell'esposizione.

Calendario appelli