CODICE 66453 ANNO ACCADEMICO 2021/2022 CFU 7 cfu anno 2 MATEMATICA 9011 (LM-40) - GENOVA 7 cfu anno 3 MATEMATICA 8760 (L-35) - GENOVA 7 cfu anno 1 MATEMATICA 9011 (LM-40) - GENOVA SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE MAT/03 SEDE GENOVA PERIODO 2° Semestre MATERIALE DIDATTICO AULAWEB PRESENTAZIONE Le lezioni si tengono in lingua italiana. OBIETTIVI E CONTENUTI OBIETTIVI FORMATIVI Introduzione alle varietà algebriche affini e proiettive; curve affini e proiettive complesse; introduzione alle superfici di Riemann. OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO Obiettivo del corso è di fornire un'introduzione alla teoria delle superfici di Riemann, da una porspettiva topologica, analitica, geometrica e algebrica. Uno dei punti salienti di queste idee sarà il teorema di Riemann-Roch, la cui applicazione principale è mostrare che qualsiasi superficie di Riemann compatta è in realtà una curva algebrica proiettiva liscia. Inoltre questo ci condurrà direttamente nel regno della geometria algebrica e il nostro obiettivo è discutere alcuni dei principi di base di questo campo con l'attenzione principale sulla corrispondenza tra l'algebra degli anelli e la geometria delle soluzioni delle equazioni polinomiali. Il messaggio più importante e unificante del corso è che è concepito come un luogo d'incontro ideale per la topologia, l'analisi, la geometria e l'algebra e mostra di conseguenza l'unità della matematica. PREREQUISITI Conoscenze di base di topologia, analisi complessa e algebra commutativa sono benvenute, ma non strettamente necessarie. MODALITA' DIDATTICHE In presenza o su Team, a seconda della situazione pandemia e normativa. PROGRAMMA/CONTENUTO Superfici di Riemann includendo molti esempi. Mappe olomorfe tra superfici di Riemann. Molteplicità, grado, teorema di Riemann-Hurwitz e il genere di una curva piana proiettiva liscia. Funzioni meromorfe e divisori su superfici di Riemann. Sistemi lineari e loro connessione alle mappe olomorfe a spazi proiettivi. Forme differenziali e il teorema di Riemann-Hurwitz per esse. Il teorema di Riemann-Roch e le sue numerose applicazioni con l'obiettivo principale di dimostrare che qualsiasi superficie di Riemann compatta è una curva algebrica proiettiva liscia. Varietà algebriche e loro connessioni con anelli noetheriani. La topologia di Zariski e il dimensione di una varietà algebrica. Varietà proiettive e anelli graduati associati. Il teorema di Bézout e le sue conseguenze sulla geometria delle curve sui numeri complessi e anche sui numeri reali. TESTI/BIBLIOGRAFIA R. Cavalieri and E. Miles - "Riemann surfaces and algebraic curves", Cambridge University Press, 2016. A. Gathmann - "Algebraic geometry" (dispense su https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2019/alggeom-2019.pdf) A. Gathmann - "Plane algebraic curves" (dispense su https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/curves-2018/curves-2018.pdf) F. Kirwan - "Complex algebraic curves", Cambridge University Press, 1992. R. Miranda - "Algebraic curves and Riemann surfaces", American Mathematical Society, 1995. I. R. Shafarevich - "Basic algebraic geometry I", Springer-Verlag, 1994, 2013. DOCENTI E COMMISSIONI VICTOR LOZOVANU Commissione d'esame VICTOR LOZOVANU (Presidente) ARVID PEREGO MATTEO PENEGINI (Presidente Supplente) LEZIONI INIZIO LEZIONI In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi. Orari delle lezioni ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE ESAMI MODALITA' D'ESAME Orale MODALITA' DI ACCERTAMENTO Prova orale (comprendente seminario a scelta dello studente tra argomenti consigliati). ALTRE INFORMAZIONI Modalità di frequenza: Consigliata. Comunque essenziale (come per la quasi totalità dei corsi).
