OBIETTIVI FORMATIVI

Introduzione alle varietà algebriche affini e proiettive; curve affini e proiettive complesse; introduzione alle superfici di Riemann.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Obiettivo del corso è di fornire un'introduzione alla teoria delle superfici di Riemann, da una porspettiva topologica, analitica, geometrica e algebrica. Uno dei punti salienti di queste idee sarà il teorema di Riemann-Roch, la cui applicazione principale è mostrare che qualsiasi superficie di Riemann compatta è in realtà una curva algebrica proiettiva liscia. Inoltre questo ci condurrà direttamente nel regno della geometria algebrica e il nostro obiettivo è discutere alcuni dei principi di base di questo campo con l'attenzione principale sulla corrispondenza tra l'algebra degli anelli e la geometria delle soluzioni delle equazioni polinomiali.  Il messaggio più importante e unificante del corso è che è concepito come un luogo d'incontro ideale per la topologia, l'analisi, la geometria e l'algebra e mostra di conseguenza l'unità della matematica.

PREREQUISITI

Conoscenze di base di topologia, analisi complessa e algebra commutativa sono benvenute, ma non strettamente necessarie.

MODALITA' DIDATTICHE

In presenza o su Team, a seconda della situazione pandemia e normativa.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Superfici di Riemann includendo molti esempi. Mappe olomorfe tra superfici di Riemann. Molteplicità, grado, teorema di Riemann-Hurwitz e il genere di una curva piana proiettiva liscia. Funzioni meromorfe e divisori su superfici di Riemann. Sistemi lineari e loro connessione alle mappe olomorfe a spazi proiettivi. Forme differenziali e il teorema di Riemann-Hurwitz per esse. Il teorema di Riemann-Roch e le sue numerose applicazioni con l'obiettivo principale di dimostrare che qualsiasi superficie di Riemann compatta è una curva algebrica proiettiva liscia. Varietà algebriche e loro connessioni con anelli noetheriani. La topologia di Zariski e il dimensione di una varietà algebrica. Varietà proiettive e anelli graduati associati. Il teorema di Bézout e le sue conseguenze sulla geometria delle curve sui numeri complessi e anche sui numeri reali.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

•    R. Cavalieri and E. Miles - "Riemann surfaces and algebraic curves", Cambridge University Press, 2016.
•    A. Gathmann -  "Algebraic geometry" (dispense su https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2019/alggeom-2…)
•    A. Gathmann - "Plane algebraic curves" (dispense su https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/curves-2018/curves-201…)
•    F. Kirwan - "Complex algebraic curves", Cambridge University Press, 1992.
•    R. Miranda - "Algebraic curves and Riemann surfaces", American Mathematical Society, 1995.
•    I. R. Shafarevich - "Basic algebraic geometry I", Springer-Verlag, 1994, 2013.