PRESENTAZIONE

Teoria Dei Gruppi (TeoGrup, codice 63662) vale 6 crediti e dall'a.a. 2021/22 si svolgerà nel primo semestre. Le lezioni si tengono in lingua italiana. Il corso si propone di dare un'introduzione ai concetti delle teoria dei gruppi e alle loro applicazioni in fisica.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Fornire le nozioni fondamentali sulla teoria delle rappresentazioni dei gruppi finiti e compatti e descrivere le loro applicazioni alla Meccanica Quantistica. Fornire le nozioni fondamentali sui gruppi di Lie di Matrici e le loro algebre di Lie.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

• Alla fine del corso lo studente dovrebbe conoscere le rappresentazioni irriducibili del gruppo simmetrico, e di alcuni semplici gruppi di Lie.
• Dovrebbe essere in grado di capire i ruoli che queste rappresentazioni giocano nella Meccanica Quantistica e in alcuni modelli di particelle elementari.
• Dovrebbe essere in grado di usare la teoria delle rappresentazioni nella soluzione esplicita di problemi.

PREREQUISITI

Nozioni di Algebra Lineare, limitatamente agli spazi di dimensione finita. In particolare, le proprietà dello spettro di sistemi di operatori lineari commutanti su spazi finito-dimensionali.

Nozioni di base di Meccanica Quantistica, tra cui la teoria del momento angolare.

MODALITA' DIDATTICHE

Modalità di erogazione tradizionale (lezioni alla lavagna). Assegnazione di esercizi settimanale.

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Proprietà generali dei gruppi

   1. Definizioni generali

   2. Esempi di gruppi finiti e infiniti (continui): gruppo ciclico di ordine n, gruppo delle permutazioni, gruppo diedrale, SO(3)

   3. Sottogruppi, teoremi di Cayley e di Lagrange

   4. Classi di coniugazione, sottogruppi invarianti, cosets, gruppi semplici e semisemplici

   5. Prodotti e prodotti semidiretti

2. Rappresentazioni dei gruppi finiti

   1. Definizione di rappresentazione

   2. Esempi: rappresentazione banale, regolare, rappresentazione segno e naturale di Sn

   3. Rappresentazioni equivalenti, caratteri

   4. Rappresentazioni decomponibili, riducibili, irriducibili

   5. Rappresentazioni unitarie e loro proprietà

   6. Lemmi di Schur

   7. Teoremi di ortogonalità

   8. Decomposizione di rappresentazioni riducibili e della rappresentazione regolare, numero delle classi di coniugazione e delle rappresentazioni irriducibili

   9. Tavola dei caratteri

   10. Rappresentazioni reali, pseudoreali, complesse

   11. Cenni alle rappresentazioni di Sn e ai Tableaux di Young

3. Gruppi e algebre di Lie

   1. Definizione di gruppo di Lie

   2. Gruppi di matrici

   3. La misura invariante, gruppi compatti e non-compatti

   4. Algebra di Lie, map esponenziale, commutatori e costanti di struttura, cenni alla formula di BCH

   5. Proprietà locali e globali di un gruppo di Lie: relazione tra SO(3) e SU(2), SO(3,1) e SL(2,C), complessificazione dell'algebra e compattezza

   6. Algebre semplici e semisemplici, metrica di Cartan-Killing

4. Generalità sulle rappresentazioni dei gruppi di Lie

   1. Esempi: rappresentazione fondamentale, aggiunta, rappresentazioni di SU(2)

   2. Somma diretta e prodotto tensoriale di rappresentazioni

   3. Gruppi compatti, rappresentazioni unitarie, riducibili e irriducibili

   4. Rappresentazioni del gruppo e dell'algebra

5. Classificazione delle algebre di Lie semplici

   1. Sottoalgebra di Cartan

   2. Radici e pesi, gruppo di Weyl

   3. Esempi: le algebre su(N), so(2N+1), sp(2N), so(2N)

   4. Proprietà generali dei sistemi di radici

   5. Diagrammi di Dynkin e classificazione

   6. Dal diagramma di Dynkin all'algebra

6. Rappresentazioni delle algebre di Lie semplici

   1. Rappresentazioni irriducibili "highest weight"

   2. Esempi: alcune rappresentazioni di su(3)

   3. Cenni alle rappresentazioni di su(N) e tableaux di Young

TESTI/BIBLIOGRAFIA

• A. Zee, Group Theory in a Nutshell for Physicists, Princeton University Press 2016
• H. Georgi, Lie Algebras in Particle Phyics, CRC Press 1999
• M. Hamermesh, Group Theory and its applications to physical problems, Dover Publications 1962
• S. Sternberg, Group theory and physics, Cambridge University Press 1994
• B. Hall, Lie groups Lie algebras and representations, Springer 2004
• Le note delle lezioni saranno rese disponibili agli studenti

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

STEFANO GIUSTO (Presidente)

NICOLA MAGGIORE

SIMONE MARZANI

CAMILLO IMBIMBO (Presidente Supplente)

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

L'insegnamento, inserito a Manifesto degli Studi ma attivabile o meno in base alle scelte degli studenti, sarà svolto nel secondo semestre dell'a.a. 2017/18.

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Esame orale, con lo svolgimento di un esercizio tra quelli propositi durante il corso.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Ogni settimana verranno assegnati esercizi, che gli studenti dovranno svolgere autonomamente. La soluzione di uno di questi esercizi sarà chiesta durante l'orale, per verificare che gli studenti abbiano acquisito la capacità di applicare gli strumenti della teoria dei gruppi alla soluzione di problemi. L'orale verificherà anche la conoscenza e la comprensione dei risultati derivati a lezione.