OBIETTIVI FORMATIVI

Scopo dell'insegnamento e' introdurre i concetti algebrici fondamentali, e le relative tecniche, utilizzati nello studio dell'aritmetica dei campi di numeri e, piu' in generale, degli anelli di Dedekind. Il corso fornisce prerequisiti algebrici necessari per affrontare questioni piu' avanzate in Teoria dei Numeri, Geometria Aritmetica ed argomenti collegati.

PREREQUISITI

I corsi (in particolare quelli di algebra) dei primi due anni della laurea triennale in Matematica.

MODALITA' DIDATTICHE

Modalità tradizionale.

PROGRAMMA/CONTENUTO

• Richiami e preliminari di algebra (anelli noetheriani, teorema cinese dei resti, anelli locali, lemma di Nakayama).
• Dipendenza intera; domini integralmente chiusi.
• Generalità sulle estensioni di campi.
• Teorema dell'elemento primitivo e sue conseguenze.
• Norma e traccia di un elemento.
• Ideali frazionari di domini di integrità.
• Domini di Dedekind. 
• Fattorizzazione unica di ideali in domini di Dedekind.
• Il gruppo delle classi di un dominio di Dedekind.
• Gruppo delle classi e class number di un campo di numeri.
• Teoremi di Hermite-Minkowski, di Hermite e delle unità di Dirichlet.
• Ramificazione di ideali primi.
• Ramificazione e discriminante.
• Ramificazione in campi quadratici.
• Teorema fondamentale della teoria di Galois in caratteristica 0.
• Teoria di Hilbert della ramificazione, gruppo di decomposizione e gruppo di inerzia.
• Automorfismo di Frobenius.
• Campi ciclotomici: anello degli interi e discriminante.
• Legge di reciprocità quadratica.
• I numeri p-adici: definizioni e prime proprietà.
• Lemma di Hensel e alcune sue applicazioni.
• Principio locale-globale: enunciato e alcuni esempi.
• Teorema di Hasse-Minkowski: enunciato. 

TESTI/BIBLIOGRAFIA

• S. Lang, Algebraic number theory, second edition, Springer, 1994. 
• D. A. Marcus, Number fields, second edition, Springer, 2018.
• J. Neukirch, Algebraic number theory, Springer, 1999.
• P. Samuel, Algebraic theory of numbers, Dover, 2008.