| CODICE | 42923 |
|---|---|
| ANNO ACCADEMICO | 2021/2022 |
| CFU | 7 cfu al 1° anno di 9011 MATEMATICA (LM-40) GENOVA |
| SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE | MAT/03 |
| LINGUA | Italiano (Inglese a richiesta) |
| SEDE | GENOVA (MATEMATICA) |
| PERIODO | 2° Semestre |
| MATERIALE DIDATTICO | AULAWEB |
Il corso darà un'introduzione alle categorie triangolate e alle categorie derivate di categorie abeliane, con l'obiettivo di studiare la categoria derivata dei fasci coerenti su una varietà proiettiva. La domanda che guiderà il corso è: varietà proiettive non isomorfe possono avere categorie derivate equivalenti? Il Teorema di Bondal-Orlov risponde affermativamente per varietà con fibrato canonico (anti)ampio, ma un esempio di Mukai dimostra che questo risultato è falso in generale.
Lo scopo dell'insegnamento è di introdurre le categorie triangolate e le categorie derivate, e di mostrare alcuni profondi legami tra la teoria delle categorie e la geometria algebrica. Si tratta di un corso basato sui precedenti corsi di geometria, il cui scopo è fornire agli studenti la conoscenza di alcuni strumenti moderni e molto utilizzati nell ricerca attuale in geometria
I prerequisiti necessari per seguire il corso sono: teoria delle categorie di base (nozione di categoria e di funtore), elementi di algebra superiore (in particolare i moduli su un anello e l'omologia), fasci e varietà algebriche (così come viste ad esempio nel corso di Istituzioni di Geometria Superiore 2 o nel corso di Geometria Superiore 1)
L'insegnamento avverà in maniera tradizionale, senza distinzione tra esercitazioni e teoria.
1. Richiami di teoria delle categorie. Categorie abeliane ed esempi fondamentali: categoria dei moduli su un anello commutativo, categoria dei fasci (quasi-)coerenti su una varietà proiettiva.
2. Categorie triangolate: assiomi ed esempi. La categoria derivata di una categoria abeliana: costruzione, struttura di categoria triangolata. Categorie derivate limitate.
3. Funtori tra categorie triangolate. Funtori derivati tra categorie derivate. Funtori di Serre.
4. Varietà a divisore canonico (anti)ampio e Teorema di Bondal-Orlov
5. Funtori di Fourier-Mukai, esempi e risultati principali. Funtori di Fourier-Mukai e equivalenze. Esempio di Mukai.
Il testo di riferimento principale per il corso è il libro di D. Huybrechts, Fourier-Mukai functors in Algebraic Geometry, Oxford University Press (2006)
ARVID PEREGO (Presidente)
VICTOR LOZOVANU
MATTEO PENEGINI (Presidente Supplente)
L'orario di tutti gli insegnamenti è consultabile su EasyAcademy.
L'esame sarà a seminario: ogni studente dovrà preparare un argomento correlato al corso, proposto dal docente o scelto autonomamente, che dovrà poi esporre in forma di seminario