PRESENTAZIONE

Il corso darà un'introduzione alle categorie triangolate e alle categorie derivate di categorie abeliane, con l'obiettivo di studiare la categoria derivata dei fasci coerenti su una varietà proiettiva. La domanda che guiderà il corso è: varietà proiettive non isomorfe possono avere categorie derivate equivalenti? Il Teorema di Bondal-Orlov risponde affermativamente per varietà con fibrato canonico (anti)ampio, ma un esempio di Mukai dimostra che questo risultato è falso in generale.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Lo scopo dell'insegnamento è di introdurre le categorie triangolate e le categorie derivate, e di mostrare alcuni profondi legami tra la teoria delle categorie e la geometria algebrica. Si tratta di un corso basato sui precedenti corsi di geometria, il cui scopo è fornire agli studenti la conoscenza di alcuni strumenti moderni e molto utilizzati nell ricerca attuale in geometria

PREREQUISITI

I prerequisiti necessari per seguire il corso sono: teoria delle categorie di base (nozione di categoria e di funtore), elementi di algebra superiore (in particolare i moduli su un anello e l'omologia), fasci e varietà algebriche (così come viste ad esempio nel corso di Istituzioni di Geometria Superiore 2 o nel corso di Geometria Superiore 1)

MODALITA' DIDATTICHE

L'insegnamento avverà in maniera tradizionale, senza distinzione tra esercitazioni e teoria.

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Richiami di teoria delle categorie. Categorie abeliane ed esempi fondamentali: categoria dei moduli su un anello commutativo, categoria dei fasci (quasi-)coerenti su una varietà proiettiva. 

2. Categorie triangolate: assiomi ed esempi. La categoria derivata di una categoria abeliana: costruzione, struttura di categoria triangolata. Categorie derivate limitate.

3. Funtori tra categorie triangolate. Funtori derivati tra categorie derivate. Funtori di Serre.

4. Varietà a divisore canonico (anti)ampio e Teorema di Bondal-Orlov

5. Funtori di Fourier-Mukai, esempi e risultati principali. Funtori di Fourier-Mukai e equivalenze. Esempio di Mukai.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Il testo di riferimento principale per il corso è il libro di D. Huybrechts, Fourier-Mukai functors in Algebraic Geometry, Oxford University Press (2006)

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

ARVID PEREGO (Presidente)

VICTOR LOZOVANU

MATTEO PENEGINI (Presidente Supplente)

LEZIONI

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame sarà a seminario: ogni studente dovrà preparare un argomento correlato al corso, proposto dal docente o scelto autonomamente, che dovrà poi esporre in forma di seminario