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GEOMETRIA SUPERIORE 2

CODICE 42923
ANNO ACCADEMICO 2021/2022
CFU
  • 7 cfu al 1° anno di 9011 MATEMATICA(LM-40) - GENOVA
  • 7 cfu al 2° anno di 9011 MATEMATICA(LM-40) - GENOVA
  • SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE MAT/03
    LINGUA Italiano (Inglese a richiesta)
    SEDE
  • GENOVA
  • PERIODO 2° Semestre
    MATERIALE DIDATTICO AULAWEB

    PRESENTAZIONE

    Il corso darà un'introduzione alle categorie triangolate e alle categorie derivate di categorie abeliane, con l'obiettivo di studiare la categoria derivata dei fasci coerenti su una varietà proiettiva. La domanda che guiderà il corso è: varietà proiettive non isomorfe possono avere categorie derivate equivalenti? Il Teorema di Bondal-Orlov risponde affermativamente per varietà con fibrato canonico (anti)ampio, ma un esempio di Mukai dimostra che questo risultato è falso in generale.

    OBIETTIVI E CONTENUTI

    OBIETTIVI FORMATIVI

    Lo scopo dell'insegnamento è di introdurre le categorie triangolate e le categorie derivate, e di mostrare alcuni profondi legami tra la teoria delle categorie e la geometria algebrica. Si tratta di un corso basato sui precedenti corsi di geometria, il cui scopo è fornire agli studenti la conoscenza di alcuni strumenti moderni e molto utilizzati nell ricerca attuale in geometria

    PREREQUISITI

    I prerequisiti necessari per seguire il corso sono: teoria delle categorie di base (nozione di categoria e di funtore), elementi di algebra superiore (in particolare i moduli su un anello e l'omologia), fasci e varietà algebriche (così come viste ad esempio nel corso di Istituzioni di Geometria Superiore 2 o nel corso di Geometria Superiore 1)

    MODALITA' DIDATTICHE

    L'insegnamento avverà in maniera tradizionale, senza distinzione tra esercitazioni e teoria.

    PROGRAMMA/CONTENUTO

    1. Richiami di teoria delle categorie. Categorie abeliane ed esempi fondamentali: categoria dei moduli su un anello commutativo, categoria dei fasci (quasi-)coerenti su una varietà proiettiva. 

    2. Categorie triangolate: assiomi ed esempi. La categoria derivata di una categoria abeliana: costruzione, struttura di categoria triangolata. Categorie derivate limitate.

    3. Funtori tra categorie triangolate. Funtori derivati tra categorie derivate. Funtori di Serre.

    4. Varietà a divisore canonico (anti)ampio e Teorema di Bondal-Orlov

    5. Funtori di Fourier-Mukai, esempi e risultati principali. Funtori di Fourier-Mukai e equivalenze. Esempio di Mukai.

    TESTI/BIBLIOGRAFIA

    Il testo di riferimento principale per il corso è il libro di D. Huybrechts, Fourier-Mukai functors in Algebraic Geometry, Oxford University Press (2006)

    DOCENTI E COMMISSIONI

    Commissione d'esame

    ARVID PEREGO (Presidente)

    VICTOR LOZOVANU

    MATTEO PENEGINI (Presidente Supplente)

    LEZIONI

    Orari delle lezioni

    L'orario di tutti gli insegnamenti è consultabile su EasyAcademy.

    ESAMI

    MODALITA' D'ESAME

    L'esame sarà a seminario: ogni studente dovrà preparare un argomento correlato al corso, proposto dal docente o scelto autonomamente, che dovrà poi esporre in forma di seminario