OBIETTIVI FORMATIVI

Approfondimento delle conoscenze di algebra lineare numerica, con particolare riferimento al trattamento numerico delle matrici di grandi dimensioni. Comprensione dei metodi più efficienti, sia diretti che iterativi, e loro utilizzo in Matlab.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

L’insegnamento ha lo scopo di fornire agli studenti le conoscenze necessarie ad individuare, comprendere e risolvere i problemi lineari relativi a matrici di grandi dimensioni e/o strutturate che sono presenti nella maggior parte degli ambiti applicativi correnti, come ad esempio, il page ranking in internet, l’elaborazioni di immagini, la tomografia e l’analisi non distruttiva in campo civile e biomedico, l’apprendimento automatico.

Al termine del corso lo studente avrà acquisito conoscenze teoriche sufficienti

• a conoscere ed identificare i principali problemi di carattere lineare che necessitano di algoritmi appositamente sviluppati per poter governare le grandi dimensioni che caratterizzano il modello e/o i dati, come ad esempio, il page ranking in internet, l’elaborazioni di immagini, la tomografia e l’analisi non distruttiva in campo civile e biomedico, l’apprendimento automatico da esempi;
• a scegliere ed applicare strumenti propri dell’algebra lineare numerica per risolvere tali problemi con l’ausilio del calcolatore;
• ad ottimizzare gli algoritmi e il codice numerico implementato per la loro risoluzione numerica;
• ad implementare tali metodologie di carattere algebrico in un linguaggio di programmazione di alto livello.

PREREQUISITI

Gli strumenti matematici necessari alla comprensione degli argomenti trattati sono quelli contenuti negli insegnamenti di algebra lineare e analisi numerica della laurea triennale. Per una comprensione approfondita può comunque risultare utile avere qualche rudimento inerente l'analisi delle funzioni di più variabili, i metodi iterativi per sistemi lineari e la teoria della misura. Gli argomenti dell’insegnamento “Calcolo Numerico”, corso opzionale della laurea triennale, possono risultare utili, sebbene non necessari.

MODALITA' DIDATTICHE

L’attività didattica è costituita da lezioni frontali in modalità tradizionale, svolte dal docente per un totale di 40 ore, nelle quali vengono introdotti e spiegati gli argomenti nella loro impostazione teorica classica. 

PROGRAMMA/CONTENUTO

Trattamento di matrici di grandi dimensioni: matrici sparse, matrici strutturate. Analisi di matrici sparse mediante grafi e tecniche di permutazione. Connessione e irriducibilità.

Inversa di matrici con modifiche di rango basso, formula di Woodbury-Sherman-Morrison.

Inversa di matrici partizionate a blocchi, complemento di Schur e sue applicazioni.

Matrici separabili, prodotto di Kronecker, somma di Kronecker ed equazioni matriciali associate. Equazione di Lyapunov-Sylvester. Decomposizione spettrale di prodotti di Kronecker.

Metodo QR per matrici sparse.

Equazioni integrali, discretizzazione e convoluzione. Matrici strutturate. Matrici di Toeplitz e Teorema di Szego-Tyrtyshnikov. Matrici circolanti. La Trasformata Veloce di Fourier (FFT) e le sue applicazioni all'algebra matriciale e all’algebra dei polinomi.

Teoria della convergenza dei metodi iterativi stazionari per la risoluzione di sistemi lineari. Metodi splitting, splitting a blocchi. Teoria di Perron-Frobenius per matrici non negative. Splitting regolari.

Metodi iterativi di minimizzazione per la risoluzione di sistemi lineari. Metodi non stazionari. Metodi a passo ottimo. Metodo della massima discesa. Gradiente coniugato, analisi della convergenza in relazione allo spettro della matrice. Tecniche di precondizionamento.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

In generale, gli appunti presi durante le lezioni e il materiale scaricabile dalla pagina web del corso sono sufficienti per la preparazione dell'esame. Più in dettaglio, possono risultare utili i materiali seguenti:

• D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici per l'Algebra Lineare (Zanichelli, Bologna, 1988);
• C. Estatico, Gradiente coniugato e regolarizzazione di problemi mal posti (Quaderni del Gruppo Nazionale per l’Informatica Matematica, C.N.R., I.N.d.A.M., 1996).