PRESENTAZIONE

In questo corso, studiamo le strutture matematiche che emergono dalla meccanica classica (cioè Newtoniana). Offrono un approccio sistematico per affrontare problemi di fisica complessi, ad esempio i moti vincolati. Verrà discussa in particolare la formulazione della meccanica svillupata da Lagrange, poi  da Hamilton.

Si studieranno inoltre alcuni elementi della teoria della stabilità per sistemi dinamici classici. Sarà anche introddotto il calcolo delle variazioni: oltre ad essere la chiave a problemi di matematica pura sulla ricerca di estremali, porta a teorema fondamentali in fisica matematica, come il teorema di Noether.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

In questo insegnamento verranno trattati i fondamenti della meccanica analitica sia lagrangiana che hamiltoniana e della teoria della stabilità.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Obiettivo del corso è la formulazione della meccanica analitica, sia dal punto di vista Lagrangiano che dal punto di vista Hamiltoniano, e le relative applicazioni alla risoluzione di problemi di carattere meccanico.
Partendo dalle leggi di Newton e dall'esame dei sistemi vincolati, si giunge al formalismo Lagrangiano a alle equazioni di Eulero-Lagrange. La risolubilità delle equazioni di Eulero-Lagrange è discussa in dettaglio, esaminando in particolare la struttura dell'energia cinetica. Durante il corso vengono presi in esame diversi esempi di interesse fisico, relativi sia a sistemi di punti materiali che a corpi rigidi. Inoltre, il corso affronta la teoria della stabilità alla Ljapunov per sistemi dinamici autonomi e la sua applicazione alle piccole oscillazioni attorno alle configurazioni di equilibrio stabile di un sistema meccanico.
Il passaggio dal formalismo Lagrangiano a quello Hamiltoniano è ottenuto mediante la trasformata di Legendre. Ciò consente di derivare le equazioni di Hamilton dalle equazioni di Eulero-Lagrange. Lo studio della struttura simplettica manifesta in meccanica Hamiltoniana è formalizzato mediante l'introduzione delle parentesi di Poisson, le cui proprietà sono discusse in dettaglio. Si è così naturalmente indotti a introdurre le trasformazioni canoniche come quelle trasformazioni che preservano la forma delle parentesi di Poisson e sono derivate alcune caratterizzazioni equivalenti, con particolare attenzione al metodo della funzione generatrice. La parte del corso dedicata alla meccanica Hamiltoniana è completata prendendo in esame le equazioni di Hamilton-Jacobi, il cui scopo è individuare un sistema di coordinate canoniche rispetto alle quali le equazioni di Hamilton risultano banali.
Il corso presenta anche il principio variazionale, sia nel formalismo Lagrangiano che nel formalismo Hamiltoniano, e di alcune loro applicazioni a problemi di carattere sia geometrico che fisico. Culmina con l'enunciato e la dimostrazione del teorema di Noether.
Per tutta la durata del corso, le lezioni sono accompagnate da esercitazioni, il cui obiettivo è preparare lo studente ad affrontare e risolvere in maniera autonoma un ampio spettro di problemi di natura meccanica da un punto di vista analitico.

MODALITA' DIDATTICHE

Il corso si svolge mediante lezioni frontali. Parte del corso è costituito da lezioni di carattere teorico (circa 48), volte a illustrare gli aspetti formali delle teoria, accompagnati da alcuni esempi concreti. A integrazione della parte teorica del corso sono previste alcune esercitazioni pratiche (circa 24 ore), aventi lo scopo di illustrare l'uso concreto degli strumenti appresi durante il corso e di preparare lo studente a risolvere autonomamente problemi di meccanica analitica.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Meccanica del punto

• Spaziotempo della fisica classica
• Cinematica
• Dinamica
• Meccanica relativa    
• Teorema dell'energia

Meccanica analitica dei sistemi olonomi

• Moto del punto vincolato  
• Meccanica lagrangiana
• Meccanica relativa lagrangiana
• Integrali primi 

Principio variazionale

• Caso lagrangiano
• Teorema di Noether

Introduzione allo studio della stabilità per sistemi dinamici

• Soluzione di equilibrio
• Stabilità dei punti critici
• Piccole oscillazioni

Meccanica Hamiltoniana

• Equazioni di Hamilton
• Trasformazioni canoniche
• Teoria di Hamilton-Jacobi

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Verranno fornite alcune dispense del corso. Si indicheranno inoltre alcuni testi per completare la preparazione.

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

PIERRE OLIVIER MARTINETTI (Presidente)

SIMONE MURRO

MARCO BENINI (Presidente Supplente)

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame è costituito da due parti. La prima parte è volta a verificare l'apprendimento delle tecniche risolutive messe a disposizione dalla meccanica analitica mediante la risoluzione di problemi di natura meccanica. La seconda parte è volta a verificare l'assimilazione dei concetti fondamentali della meccanica analitica e la capacità di dedurne i risultati che ne discendono.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

L'accertamento dell'apprendimento avviene in due fasi. La prima fase consiste in una prova scritta, in cui si richiede allo studente di risolvere alcuni esercizi di meccanica utilizzando gli strumenti messi a disposizione dal corso. La seconda fase consiste in una prova orale, in cui si richiede allo studente di dimostrare dimestichezza con i concetti affrontati durante il corso e capacità di verificare i risultati che ne discendono.

Calendario appelli

ALTRE INFORMAZIONI

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.