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METODI MATEMATICI IN RELATIVITA' GENERALE

CODICE 90700
ANNO ACCADEMICO 2022/2023
CFU
  • 6 cfu al 1° anno di 9011 MATEMATICA(LM-40) - GENOVA
  • 6 cfu al 3° anno di 8760 MATEMATICA (L-35) - GENOVA
  • 6 cfu al 2° anno di 9011 MATEMATICA(LM-40) - GENOVA
  • SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE MAT/07
    SEDE
  • GENOVA
  • PERIODO 1° Semestre
    MATERIALE DIDATTICO AULAWEB

    PRESENTAZIONE

    Questo corso propone una presentazione della Relatività Generale, cioè la teoria relativistica della gravitazione, pubblicata da Einstein in 1916. Oltre alle classiche applicazioni alla fisica (cosmologia, lente gravitazionale, bucchi neri), l'accento sarà messo sulla matematica necessaria ad una formulazione rigorosa della teoria (la geometria differenziale pseudo-Riemanniana) e su alcuni ulteriori svilupi matematici ispirati  dalla teoria stessa.

    OBIETTIVI E CONTENUTI

    OBIETTIVI FORMATIVI

    Durante questo insegnamento verranno studiati alcuni elementi di geometria differenziale utili a formalizzare rigorosamente la teoria della relatività generale. Più precisamente si studieranno i concetti di connessione e curvatura in spazi pseudo Riemanniani, verranno inoltre discusse le equazioni di Einstein e alcune loro soluzioni. In particolare si tratteranno le soluzioni linearizzate per descrivere le onde gravitazionali e le soluzioni sfericamente simmetriche per descrivere l'attrazione gravitazionale degli oggetti sferici.

    OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

    Lo scopo del corso è fornire gli strumenti matematici necessari alla formulazione dei fondamenti concettuali della relatività generale.

    L'obiettivo è di mostrare come matematica e fisica si articolano in modo armonioso:

    - da una parte fare capire come, e perchè, la geometria differenziale è lo strumento adeguato per formulare in modo rigoroso le intuizioni fisiche alla base della teoria (in particolare il principio di equivalenza);

    - d'altra parte mostrare che la formulazione finale della teoria (le equazioni di Einstein del campo gravitazionale) portano a nuovi sviluppi matematici (la nozione di singolarità).

    PREREQUISITI

    Prerequisiti:

    Conoscenza in geometria differenziale e/o in relatività speciale rendono la comprensione di questo corso più facile, ma non sono prerequisiti.

    Tutti gli strumenti di geometria differenziale necessari al corso saranno spiegati in dettaglio durante le lezioni.

    Rudimenti di relatività speciale saranno anche dati.

    MODALITA' DIDATTICHE

    Tradizionale.

    48 ore di lezione frontale.

    12 ore di esercizi.

    PROGRAMMA/CONTENUTO

    0. Introduzione scientifico-storica alla teoria della Relatività Generale.

    1. Fondamenti della Relatività Generale

    • Relatività speciale: trasformazione di Lorentz, spazio-tempo di Minkowski, quadrivettori, cinematica.
    • Geometria (pseudo)-riemanniana: varietà, vettori, tensori, connessione, curvatura, metrica.
    • Fondamenti della Relatività Generale: moto nel campo gravitazionale, equazioi di Einstein.

    2.  Soluzioni e applicazioni

    • Soluzione linerizzata: approssimazione Newtonianna, onde gravitazionale.
    • Soluzione di Schwarzschild: redshift gravitazionale, precessione del perielio, deviazione della luce e lente gravitazionale, singolarità e bucchi neri.

    TESTI/BIBLIOGRAFIA

    Gli appunti (dettagliati) del corso sono accessibili all'inizio del corso, su aulaweb. Per approfondimento:

     "General Relativity", R. M. Wald, The University of Chicago Press (1984) [la referenza di base, però piuttosto per gli argomenti avanzati].

    “Geometry, topology and physics”, M. Nakahara, IOP (1990) [per la geometria differenziale],

    "Gravitation and cosmology: principle and applications of the general theory of relativity", S. Weinberg, J. Wiley & Sons (1972) [la migliore referenze per il calcolo tensoriale, ma sceglie un punto di vista anti-geometrico che non sarà quello del corso].

    "Relativity: special, general and cosmological". W. Rindler, Oxford University Press (2006) [eccellente libro, sopratutto per le discussioni su i principi e le conseguenze fisici].  

    "Introduction to General Relativity", L. P. Hughston and K. P. Tod, Cambridge University Press (1990) [buon testo introduttivo].

    "Corso di fisica teorica vol. 2: teoria dei campi", L. Landau, E. Lifchitz,  MIR Moscva (1989) [Presentazione sintetica della Relatività, forse non ottimo per un primo approccio ma alcuni argomenti sono presentati in modo limpidissimo]. 

     

    DOCENTI E COMMISSIONI

    LEZIONI

    INIZIO LEZIONI

    In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

    Orari delle lezioni

    L'orario di tutti gli insegnamenti è consultabile su EasyAcademy.

    ESAMI

    MODALITA' D'ESAME

    Compitino da fare a casa, poi orale 

    MODALITA' DI ACCERTAMENTO

    Il compitono (a casa) consiste a risolvere un problema legato ad un argomento di approfondimento del corso. Permette di illustrare la richezza concettuale della relatività generale, e anche di praticare concretamente i calcoli.

    Non c'è voto per questo compitino, ma è obbligatorio consegnarlo per poter fare l'orale.

    L'esame orale consiste nella verifica della comprensione dei concetti fisici di base delle relatività generale, e dell'abilità a manipolare gli strumenti matematici associati (in particolare il calcolo tensoriale).

     

    ALTRE INFORMAZIONI

     

    Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.