PRESENTAZIONE

In questo insegnamento si introducono le nozioni di base dell'algebra commutativa, disciplina nata dal lavoro di Hilbert e Dedeking di fine '800, e sviluppatasi nel corso del '900. Essa si interessa dello studio di anelli, detti Noetheriani, che in un certo senso sono riconducibili ad anelli di polinomi. Lo sviluppo dell'algebra commutativa è motivato da due domande molto semplici: quale forma di fattorizzazione unica abbiamo negli anelli Noetheriani? Quale è il concetto giusto di "dimensione"?

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Lo scopo dell'insegnamento consiste nell'introdurre le nozioni di base dell'algebra commutativa.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Lo studente che participa attivamente alle lezioni proposte acquisisce conoscenza e dimestichezza con le nozioni di base dell'algebra commutativa, anche e soprattutto mediante l'utilizzo di esempi mirati.

PREREQUISITI

I prerequisiti riguardano i concetti di base dell'algebra: le estrutture algebriche di gruppo, anello, gli omomorfismi tra di esse, i quozienti. 

MODALITA' DIDATTICHE

La maggioranza delle ore del corso sarà dedicata a lezioni frontali di teoria. Durante il semestre verranno proposti fogli di esercizi che verranno discussi collettivamente; alcune ore settimanali verranno appositamente riservate per queste discussioni.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Richiami su anelli, ideali e moduli. Algebre. Localizzazione. Condizioni sulle catene, anelli Noetheriani ed Artiniani. Decomposizione primaria di ideali, primi associati ad un modulo. Prodotto tensore di moduli, cenni su algebra tensoriale, simmetrica ed esterna. Anelli di invarianti, operatore di Reynolds, sottoanelli puri, addendi diretti, algebre retratte.  Teoria della dimensione, Krullhauptidealssatz e varianti. Sistemi di parametri e dimensione di anelli locali. Dipendenza integrale, normalizzazione di Noether e dimensione di K-algebre finitamente generate. Algebre graduate, funzione di Hilbert e razionalità della serie di Hilbert.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

- M.F. Atiyah, I.G.  Macdonald, Introduzuione a l'algebra commutativa, Feltrinelli

- David Eisenbud Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer ISBN-13: 978-0387942698

- Appunti corso di Craig Huneke, a disposizione online: https://www.dima.unige.it/~destefani/files/algebra_notes-II.pdf

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

ALESSANDRO DE STEFANI (Presidente)

ALESSIO CAMINATA

RICCARDO CAMERLO (Presidente Supplente)

ALDO CONCA (Presidente Supplente)

EMANUELA DE NEGRI (Presidente Supplente)

STEFANO VIGNI (Presidente Supplente)

ANNA MARIA BIGATTI (Supplente)

GIUSEPPE ROSOLINI (Supplente)

FRANCESCO VENEZIANO (Supplente)

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

Orari delle lezioni

ALGEBRA COMMUTATIVA 1

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame è orale.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

L'esame orale consiste nella discussione degli aspetti teorici della disciplina e nella risoluzione di alcuni esercizi.

ALTRE INFORMAZIONI

Pagine Web dei docenti: https://www.dima.unige.it/~denegri/ & https://www.dima.unige.it/~destefani/

Modalità di frequenza: Consigliata.
La frequenza è altamente consigliata in quanto il contenuto delle lezioni risulta fondamentale al fine di comprendere lo sviluppo della disciplina presentata e le ragioni anche storiche di tale sviluppo, al di là dei tecnicismi.

Gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali sono pregati di contattare il Settore Servizi di supporto alla disabilità e agli studenti con DSA dell'ateneo di concordare con i docenti modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.