PRESENTAZIONE

Metodi Matematici avanzati della Fisica (codice 61843) vale 6 crediti e si svolge nel primo semestre dei seguenti anni: 1° o 2 LM-17. Le lezioni si tengono in lingua italiana.
Per gli studenti iscritti, il materiale didattico è disponibile su AulaWeb.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

L'insegnamento si propone di introdurre alcuni aspetti importanti e avanzati della matematica che, per questioni di tempo, non possono essere trattati nella laurea triennale. In particolare si cercherà di introdurre strumenti che hanno rilevanza nelle applicazioni alla fisica, come le funzioni di Green e il calcolo delle variazioni.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Il corso introduce le proprietà fondamentai della teoria dei gruppi che fornisce il formalismo matematico per descrivere le trasformazioni di simmetria.

Verranno discussi sia i gruppi finiti che quelli continui e le loro rappresentazioni.

Si enfatizzeranno i concetti fondamentali e le tecniche di calcolo piuttosto che la generalità ed il rigore matematico.

Al termine del corso lo studente dovrebbe essere in grado di usare la teoria delle rappresentazioni nella soluzione esplicita di problemi.

PREREQUISITI

Nozioni di Algebra Lineare, limitatamente agli spazi di dimensione finita. In particolare, le proprietà dello spettro di sistemi di operatori lineari commutanti su spazi finito-dimensionali.

Nozioni di base di Meccanica Quantistica, tra cui la teoria del momento angolare.

MODALITA' DIDATTICHE

Modalità di erogazione tradizionale. Assegnazione di esercizi settimanale.

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Proprietà generali dei gruppi 

   1. Definizioni generali

   2. Esempi di gruppi finiti e infiniti (continui): gruppo ciclico di ordine n, gruppo delle permutazioni, gruppo diedrale, SO(3)

   3. Sottogruppi, teoremi di Cayley e di Lagrange

   4. Classi di coniugazione, sottogruppi invarianti, cosets, gruppi semplici e semisemplici

   5. Prodotti e prodotti semidiretti

2. Rappresentazioni dei gruppi finiti

   1. Definizione di rappresentazione

   2. Esempi: rappresentazione banale, regolare, rappresentazione segno e naturale di Sn

   3. Rappresentazioni equivalenti, caratteri

   4. Rappresentazioni decomponibili, riducibili, irriducibili

   5. Rappresentazioni unitarie e loro proprietà

   6. Lemmi di Schur

   7. Teoremi di ortogonalità

   8. Decomposizione di rappresentazioni riducibili e della rappresentazione regolare, numero delle classi di coniugazione e delle rappresentazioni irriducibili

   9. Tavola dei caratteri

   10. Rappresentazioni reali, pseudoreali, complesse

   11. Cenni alle rappresentazioni di Sn e ai Tableaux di Young

   12. I modi normali delle molecole tramite la teoria dei gruppi

3. Gruppi e algebre di Lie

   1. Definizione di gruppo di Lie

   2. Gruppi di matrici

   3. La misura invariante, gruppi compatti e non-compatti

   4. Algebra di Lie, map esponenziale, commutatori e costanti di struttura, cenni alla formula di BCH

   5. Proprietà locali e globali di un gruppo di Lie: relazione tra SO(3) e SU(2), SO(3,1) e SL(2,C), complessificazione dell'algebra e compattezza

   6. Algebre semplici e semisemplici, metrica di Cartan-Killing

4. Generalità sulle rappresentazioni dei gruppi di Lie

   1. Esempi: rappresentazione fondamentale, aggiunta, rappresentazioni di SU(2)

   2. Somma diretta e prodotto tensoriale di rappresentazioni

   3. Gruppi compatti, rappresentazioni unitarie, riducibili e irriducibili

   4. Rappresentazioni del gruppo e dell'algebra

5. Classificazione delle algebre di Lie semplici

   1. Sottoalgebra di Cartan

   2. Radici e pesi, gruppo di Weyl

   3. Esempi: le algebre su(N), so(2N+1), sp(2N), so(2N)

   4. Proprietà generali dei sistemi di radici

   5. Diagrammi di Dynkin e classificazione

   6. Dal diagramma di Dynkin all'algebra

6. Rappresentazioni delle algebre di Lie semplici

   1. Rappresentazioni irriducibili "highest weight"

   2. Esempi: alcune rappresentazioni di su(3), applicazioni alla teoria dei adroni

   3. Cenni alle rappresentazioni di su(N) e tableaux di Young

TESTI/BIBLIOGRAFIA

• A. Zee, Group Theory in a Nutshell for Physicists, Princeton University Press 2016
• H. Georgi, Lie Algebras in Particle Phyics, CRC Press 1999
• M. Hamermesh, Group Theory and its applications to physical problems, Dover Publications 1962
• S. Sternberg, Group theory and physics, Cambridge University Press 1994
• B. Hall, Lie groups Lie algebras and representations, Springer 2004
• Le note delle lezioni saranno rese disponibili agli studenti

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

STEFANO GIUSTO (Presidente)

ANDREA AMORETTI

PIERANTONIO ZANGHI'

NICODEMO MAGNOLI (Presidente Supplente)

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

26/9/2022

Orari delle lezioni

METODI MATEMATICI AVANZATI DELLA FISICA

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Esame orale: la prima domanda consisterà nello svolgimento di un esercizio tra quelli propositi durante il corso; la seconda domanda sarà una domanda di teoria.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Ogni settimana verranno assegnati esercizi, che gli studenti dovranno svolgere autonomamente. La soluzione di uno di questi esercizi sarà chiesta durante l'orale, per verificare che gli studenti abbiano acquisito la capacità di applicare gli strumenti della teoria dei gruppi alla soluzione di problemi. L'orale verificherà anche la conoscenza e la comprensione dei risultati derivati a lezione.