OBIETTIVI FORMATIVI

L'insegnamento consente agli studenti di acquisire le conoscenze basilari, sia di carattere teorico che applicativo, relative allo studio dei problemi inversi. Lo studente sarà infatti in grado di modellizzare teoricamente la classe dei problemi mal posti derivanti dalla inversione di operatori lineari e di applicare a tali problemi i principali metodi numerici di regolarizzazione, sia di tipo analitico che stocastico. A tale scopo, insieme a lezioni frontali inerenti la teoria, è prevista attività di laboratorio computazionale. 

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

L’insegnamento ha lo scopo di fornire agli studenti gli strumenti matematici di base necessari alla comprensione di problemi inversi lineari e della loro risoluzione numerica in ambito applicativo. A tale scopo, insieme a lezioni frontali inerenti la teoria, è prevista attività di laboratorio al computer.

Al termine del corso lo studente avrà acquisito conoscenze teoriche sufficienti

• ad identificare i principali modelli matematici associati a problemi malposti;
• ad utilizzare ​strumenti propri dell’analisi funzionale, quali la teoria degli operatori lineari in spazi di dimensione infinita, per risolvere problemi inversi;
• a comprendere e classificare i metodi di regolarizzazione alla Tikhonov e i metodi di regolarizzazione iterativa;
• a comprendere l'interpretazione probabilistica della regolarizzazione dei problemi inversi;
• a comprendere i criteri di ottimalità per la scelta della miglior approssimazione;
• a utilizzare le tecniche per la stima dell’approssimazione ottima, sia di tipo deterministico che statistico;
• a risolvere problemi inversi lineari con l’uso della regolarizzazione spettrale in coppia con la scelta ottimale del parametro di regolarizzazione;
• ad applicare strumenti matematici di risoluzione numerica nell’ambito dei problemi di deconvoluzione di immagini e di problemi inversi dinamici, in cui l'incognita varia nel tempo.

PREREQUISITI

Gli strumenti matematici necessari alla comprensione degli argomenti trattati sono forniti nel corso. Per una comprensione approfondita può comunque risultare utile avere qualche rudimento di:

• teoria degli operatori lineari in spazi di Hilbert;
• metodi iterativi per sistemi lineari;
• probabilità e statistica.

MODALITA' DIDATTICHE

L’attività didattica è costituita:

• da lezioni frontali in modalità tradizionale, per un totale di 50 ore, nelle quali vengono introdotti e spiegati gli argomenti nella loro impostazione teorica classica;
• da ulteriori 10 ore di attività di laboratorio computazionale, nelle quali gli strumenti di teoria vengono applicati alla risoluzione di problemi inversi in ambito applicativo.

La frequenza, sebbene non obbligatoria, è fortemente consigliata.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Il programma verte sui seguenti argomenti principali:

• Operatori lineari su spazi di Hilbert: operatori con range chiuso e non chiuso, operatore inverso, operatori compatti e risoluzione spettrale di operatori autoaggiunti.
• Problemi mal posti, inversa generalizzata. Caso degli operatori compatti. Sistema singolare.
• Metodi di regolarizzazione: algoritmi di regolarizzazione nel senso di Tikhonov, studio teorico mediante risoluzione spettrale.
• Metodi iterativi regolarizzanti: metodo di Landweber e metodo del gradiente coniugato.
• Problemi di ricostruzione di immagini e deconvoluzione. Filtri spettrali. Vengono analizzati i metodi di regolarizzazione già esposti adattati all’utilizzo degli strumenti propri dell’analisi di Fourier. Trasformata di Fourier discreta.
• Approccio statistico ai problemi inversi: Maximum Likelihood e Maximum a Posteriori.
• Metodi di scelta del parametro di regolarizzazione:
  • rischio predittivo
  • Generalized Cross Validation
  • Curva L.
• Estensione della regolarizzazione alla Tikhonov al caso dinamico: il filtro di Kalman.

Si considera parte integrante del corso la sperimentazione numerica effettuata in Laboratorio utilizzando il linguaggio Matlab.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

In generale, gli appunti presi durante le lezioni e il materiale scaricabile dalla pagina web del corso sono sufficienti per la preparazione dell'esame. Più in dettaglio, possono risultare utili i testi seguenti:

• C. Estatico, Gradiente coniugato e regolarizzazione di problemi mal posti (Quaderni del Gruppo Nazionale per l’Informatica Matematica, C.N.R., I.N.d.A.M., 1996) 
• M.Bertero, P. Boccacci, Introduction to Inverse Problems in Imaging (IOP, Bristol, 1996)
• C.W.Groetsch, Generalized Inverses of Linear Operators (New York and Basel: Marcel Dekker Inc., USA, 1997)
• H.W. Engl, M. Hanke, A. Neubauer, Regularization of Inverse Problems (Kluwer academic Publishers, 1996)
• C. Vogel, Computational methods for inverse problems (SIAM, 2002).