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ARITMETICA DELLE CURVE ELLITTICHE

CODICE 61684
ANNO ACCADEMICO 2022/2023
CFU
  • 6 cfu al 1° anno di 9011 MATEMATICA(LM-40) - GENOVA
  • SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE MAT/03
    SEDE
  • GENOVA
  • PERIODO 1° Semestre
    MATERIALE DIDATTICO AULAWEB

    OBIETTIVI E CONTENUTI

    OBIETTIVI FORMATIVI

    Lo scopo dell'insegnamento è quello di fornire contenuti avanzati di teoria dei numeri su curve ellittiche che sono ritenuti fondamentali per gli studenti che hanno intenzione di proseguire gli studi in un dottorato di ricerca

    OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

    Scopo dell'insegnamento è fornire un'introduzione alla teoria aritmetica delle curve ellittiche (con cenni al caso delle varietà abeliane di dimensione arbitraria), che costituisce uno degli argomenti centrali della moderna geometrica aritmetica e teoria algebrica dei numeri. Più precisamente, l'obiettivo finale del corso è la dimostrazione del Teorema di Mordell-Weil, che afferma che il gruppo abeliano dei punti razionali su una curva ellittica definita su un campo di numeri (cioè un'estensione di grado finito del campo dei numeri razionali) è finitamente generato. L'insegnamento può pertanto essere visto come un'introduzione allo studio di problemi diofantei (particolari problemi aritmetici che nascono in un contesto geometrico) con tecniche di teoria algebrica dei numeri e algebra commutativa.

    PREREQUISITI

    I contenuti degli insegnamenti obbligatori di algebra e geometria della Laurea in Matematica. È sicuramente preferibile (anche se non strettamente necessario) aver seguito Teoria dei Numeri 2.

    MODALITA' DIDATTICHE

    Modalità tradizionale.

    Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

    PROGRAMMA/CONTENUTO

    - Richiami di geometria algebrica (se necessario).
    - Curve ellittiche ed equazioni di Weierstrass.
    - Legge di gruppo su una curva ellittica.
    - Isogenie fra curve ellittiche.
    - Moduli di Tate di una curva ellittica.
    - Curve ellittiche su campi finiti: il Teorema di Artin-Hasse.
    - Tipi di riduzione di una curva ellittica.
    - Teorema della riduzione semistabile.
    - Altezze su spazi proiettivi.
    - Gruppi di Selmer e di Shafarevich-Tate di una curva ellittica su un campo di numeri.
    - Curve ellittiche su campi di numeri: dimostrazione del Teorema di Mordell-Weil debole.
    - Altezze su curve ellittiche.
    - Curve ellittiche su campi di numeri: dimostrazione del Teorema di Mordell-Weil.

    TESTI/BIBLIOGRAFIA

    - J. H. Silverman, "The arithmetic of elliptic curves", Springer-Verlag, 1986.
    - D. Husemöller, "Elliptic Curves", Springer-Verlag, 1987.
    - A. W. Knapp, "Elliptic curves", Princeton University Press, 1992.

    DOCENTI E COMMISSIONI

    Commissione d'esame

    STEFANO VIGNI (Presidente)

    MATTEO PENEGINI

    FABIO TANTURRI (Presidente Supplente)

    LEZIONI

    Orari delle lezioni

    L'orario di tutti gli insegnamenti è consultabile su EasyAcademy.