OBIETTIVI FORMATIVI

Il modulo di analisi si propone di fornire gli elementi essenziali di calcolo differenziale ed integrale per i campi vettoriali, fornisce inoltre una introduzione ai sistemi di equazioni differenziali ed alle equazioni differenziai alle derivate parziali.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

L’insegnamento Analisi Matematica I ha lo scopo di fornire agli studenti gli strumenti matematici di base necessari ad affrontare futuri studi in campo ingegneristico.

Al termine del corso lo studente avrà acquisito conoscenze teoriche sufficienti

• ad identificare e comprendere problemi di carattere generale in ambito ingegneristico inerenti quantità modellizzate matematicamente;
• a conoscere il concetto di serie numerica e di serie di funzioni e a valutarne la convergenza, utile nel calcolo approssimato di grandezze in ambito numerico-computazionale;
• ad utilizzare gli strumenti propri delle serie di Fourier e delle trasformate di Laplace, mediante i quali vengono risolti molti problemi di carattere ingegneristico;
• ad analizzare e modellizzare oggetti geometrici relativi a curve e superfici, e calcolare quantità ad essi associate;
• a comprendere e risolvere modelli semplici relativi ad equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie, mediante le quali vengono modellizzati fenomeni fisici di interesse ingegneristico;
• a riconoscere un campo conservativo e a calcolarne il relativo potenziale, utile nella modellizazione fisica di fenomeni in ambito applicativo.

PREREQUISITI

Gli argomenti degli insegnamenti del I anno “Analisi Matematica I” e “Geometria”.

MODALITA' DIDATTICHE

L’attività didattica è costituita unicamente da 52 ore di lezioni frontali svolte dal docente, nelle quali vengono introdotti gli argomenti nella loro impostazione teorica classica e contestualmente vengono risolti esercizi associati agli stessi argomenti, anche con esempi di carattere euristico-intuitivo.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Il programma dell’insegnamento prevede lo studio teorico e la risoluzione di esercizi nei seguenti argomenti:

• Integrali impropri su domini illimitati, integrali impropri di funzioni non limitate. 
• Serie numeriche. Criteri di convergenza per serie numeriche a segno costante. Serie numeriche a segni alterni e serie assolutamente convergenti. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale. Criteri di convergenza. Derivazione e integrazione di serie di funzioni (cenni). Serie di potenze, raggio di convergenza. Sviluppabilità in serie di Taylor.
• Serie di Fourier. Derivazione, integrazione e convergenza delle serie di Fourier; fenomeno di Gibbs (cenni). Serie di Fourier ed equazione del calore. Sistema trigonometrico, Basi ortonormali. Convergenza in norma 2.
• Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine qualunque. Caso omogeneo. Caso non omogeneo con forzante di tipo particolare (esponenziale per trigonometrico). Sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Caso omogeneo. Caso non omogeneo (cenni).
• Trasformata di Laplace. Proprietà. Antitrasformata di Laplace. Esempi ed esercizi. Applicazione alle eq.ni differenziali lineari.
• Curve regolari, chiuse, rettificabili. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea.
• Superfici regolari. Curve su superfici. Piano tangente. Area di superfici. Integrale di superficie.
• Integrale curvilineo di funzioni scalari. Integrale curvilineo di forme differenziali lineari.
• Forme differenziali esatte e campi conservativi. Potenziale. Formule di Gauss-Green nel piano. Flusso e integrale di superficie di campi vettoriali nello spazio. Insiemi semplicemente connessi e lemma di Poincaré. Calcolo del potenziale.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

In generale, gli appunti presi durante le lezioni e il materiale scaricabile dalla pagina web del corso sono sufficienti per la preparazione dell'esame. Più in dettaglio, possono risultare utili i materiali seguenti:

Dispense di teoria “Matematica II” e "Metodi matematici per l'ingegneria" del prof. Maurizio Romeo, scaricabili gratuitamente dalla pagina web del corso;

"Appunti sulle serie" del prof. Franco Parodi, scaricabili gratuitamente dalla pagina web del corso;

"Appunti sulla trasformata di Laplace" del prof. Paolo Tilli, scaricabili gratuitamente dalla pagina web del corso;

Fogli contenenti link a pagine web con diversi esercizi risolti, scaricabili gratuitamente dalla pagina web del corso;

Fusco N., Marcellini P., Sbordone C., Analisi Matematica 2, Liguori, 1996, o altro testo di Analisi Matematica II.