OBIETTIVI FORMATIVI

La conoscenza degli strumenti matematici introdotti e la capacità di utilizzarli per la risoluzione di problemi con eventuale interpretazione a fenomeni fisici. La capacità di impostare correttamente un problema e lo sviluppo delle capacità intuitive e deduttive necessarie per la risoluzione dello stesso.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Lo scopo dell'insegnamento e' la conoscenza di strumenti basilari dell'Analisi Matematica utili nella modelllizzazione di fenomeni fisici, la a capacità di impostare e risolvere problemi con metodo intuitivi e deduttivi e di riconoscere ed utilizzare gli opportuni strumenti matematici nella risoluzione di problemi in ambito fisico.

Al termine dell’insegnamento lo studente sarà in grado di:

1. Enunciare i concetti (teoremi, definizioni) argomento del corso (es.: l'insieme di livello, le derivate parziali, l'ottimizzazione libera e vincolata, l'integrazione curvilinea e su un volume)

2. Interpretare fisicamente e geometricamente i concetti basilari dell’analisi matematica

3. Impostare la risoluzione di problemi con approccio intuitivo

4. Selezionare gli opportuni strumenti matematici da impiegare nella risoluzione di problemi

5. Risolvere problemi con approccio deduttivo

MODALITA' DIDATTICHE

Il corso consiste di 36 ore di lezioni e 24 di esercitazioni. Durante le lezioni vengono presentati gli argomenti del programma del corso con definizioni e teoremi ed alcune dimostrazioni, utili per la comprensione degli argomenti e per  sviluppare capacità di ragionamento logico-deduttivo da parte dello studente. Ciascun argomento teorico viene corredato da facili esempi e qualche esercizio. Le ore di esercitazione sono dedicate allo svolgimento di esercizi il cui scopo è approfondire la conoscenza da parte dello studente dell'argomento teorico trattato e prepararlo alla prova di esame. Durante il corso si terranno tre esercitazioni guidate nelle quali lo studente potrà autovalutare il proprio livello di apprendimento.

Lo studente potrà avvalersi del materiale messo a disposizione su Aulaweb.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Richiami sulla struttura di spazio vettoriale di R^n. Topologia di R^n.

Funzioni di più variabili. Insiemi di livello. Continuità e differenziabilità. Derivate direzionali e parziali. Dervate di ordine superiore. Teorema di Schwartz. Formula di Taylor di ordine n con il resto di Peano e di Lagrange. Richiami sulle forme quadratiche. Estremi liberi. Condizione necessaria del 1° ordine e sufficienti del secondo ordine. Teorema della funzione implicita. Trasformazioni di coordinate. Estremi vincolati.

Sistemi di equazioni differenziali non lineari. Problema di Cauchy e teorema di esistenza e unicità della soluzione locale e globale. Integrali doppi e tripli. Domini normali in R^2. Formule di riduzione per integrali doppi. Teorema di cambio di variabili per integrali. Formule di riduzione per fili e per sezioni.

Curve in R^n. Integrale di linea.

Campi vettoriali. Campi vettoriali irrotazionali e conservativi. Formule di Gauss - Green nel piano. Teorema della divergenza nel piano.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

C. Canuto, A. Tabacco, "Analisi Matematica II", Springer, 2014.

M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa. “Analisi matematica 2”, Zanichelli, 2009.

S. Salsa, A. Squellati. “Esercizi di Analisi matematica 2”, Zanichelli 2011.