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EQUAZIONI DIFFERENZIALI 2

CODICE 109053
ANNO ACCADEMICO 2022/2023
CFU
  • 6 cfu al 1° anno di 9011 MATEMATICA(LM-40) - GENOVA
  • 6 cfu al 2° anno di 9011 MATEMATICA(LM-40) - GENOVA
  • SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE MAT/05
    SEDE
  • GENOVA
  • PERIODO 2° Semestre
    MATERIALE DIDATTICO AULAWEB

    PRESENTAZIONE

    L'insegnamento prevede di introdurre gli studenti agli spazi di Sobolev e quindi ad indagare aspetti variazionali di equazioni differenziali ellittiche.

    OBIETTIVI E CONTENUTI

    OBIETTIVI FORMATIVI

    Lo scopo dell'insegnamento è di fornire un'introduzione sugli spazi di Sobolev, e fornire interpretazione variazionale di alcune equazioni differenziali alle derivate parziali, studiandone anche la regolarità delle soluzioni. Come applicazione si forniranno semplici risultati di esistenza di soluzioni regolari.

    OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

    Fornire contenuti fondamentali inerenti la teoria delle funzioni debolmente derivabili (funzioni AC, funzioni Sobolev e loro caratterizzazioni). Interpretare soluzioni deboli di equazioni differenziali alle derivate parziali come minimi di problemi variazionali e viceversa tramite equazioni di eulero-lagrange; usare questo principio per dedurre esistenza e regolarità per tali equazioni differenziali. L'obbiettivo duplice del corso è fornire strumenti  e risultati fondamentali nell'analisi matematica nell'ambito delle equazioni alle derivate parziali e principi generali propri del calcolo delle variazioni.

    Risultati di apprendimento attesi: Comprensione dei concetti e delle dimostrazioni svolte a lezione. Capacità di saper effettuare dimostrazioni che costituiscano varianti di dimostrazioni viste, di costruire esempi e constroesempi e di saper risolvere esercizi sugli argomenti relativi all'insegnamento.

     

    PREREQUISITI

    Analisi matematica 1,  2 e 3, Analisi Funzionale 1. Preferenzialmente anche Analisi Funzionale 2 ed Equazioni differenziali 1.

    MODALITA' DIDATTICHE

    Tradizionali: le lezioni verranno svolte dal docente alla lavagna.

     

    PROGRAMMA/CONTENUTO

    Spazio W^{1,p} su un intervallo e definizione di derivata debole; relazioni con le funzioni assolutamente continue, densità delle funzioni lisce. Spazio W^{1,p} su R^n: equivalenza di definizione tramite integrazione per parti, chiusura di funzioni lisce e caratterizzazione AC su rette. Spazio W^{1,p} e poi su un aperto regolare e cenno ad un operatore di estensione. Embedding compatti di spazi di Sobolev in spazi L^p e Holder. Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger.

    Equazioni differenziali in forma debole e relazione con principi variazionali tramite equazioni di Eulero-Lagrange (principalmente equazioni ellittiche a coefficienti costanti). Esistenza tramite Hopf-Lax. Stime di Caccioppoli e regolarità (Shauder) H^2 fino al bordo; bootstrap. Regolarità L^p e paragone con formule esplicite nel caso di problemi di Poisson/Laplace. Regolarità per coefficienti non costanti tramite congelamento. Regolarità Holder alla De Giorgi per coefficienti in L^{\infty}.

    DOCENTI E COMMISSIONI

    Commissione d'esame

    SIMONE DI MARINO (Presidente)

    LEZIONI

    INIZIO LEZIONI

    Febbraio 2023

    Orari delle lezioni

    L'orario di tutti gli insegnamenti è consultabile su EasyAcademy.

    ESAMI

    MODALITA' D'ESAME

    Scritto ed orale.

    Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

    MODALITA' DI ACCERTAMENTO

    Durante l'esame vengono affrontati alcuni aspetti riguardanti la teoria svolta a lezione cosi' come viene richiesta la soluzione di qualche esercizio, relativo agli argomenti trattati a lezione. Questo consente di accertare la comprensione che gli studenti hanno degli argomenti trattati, le loro conoscenze e le loro capacita' a saper applicare i risultati teorici per risolvere gli esercizi.