PRESENTAZIONE

Algebra 3 tratta delle nozioni di base dell'algebra commutativa e gli aspetti algoritmici e computazionali ad essi associati. In particolare viene presentata la nozione di anello e modulo Noetheriano, di algebra e successivamente vengono introdotte le basi di Groebner che vengono applicate per la risoluzione computazionale di problemi relativi agli oggetti polinomiali.  

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Obiettivo del corso è fornire agli studenti un'introduzione agli aspetti computazionali dell'algebra e alla teoria di Galois delle estensioni di campi. Il filo conduttore del corso è lo studio della risolubilità di (sistemi di) equazioni polinomiali su un campo.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Algebra 3 si propone di fornire agli studenti le nozioni di base relative a:
1) Anelli e moduli Noetheriani
2) Algebre
3)  Basi di Groebner e loro utilizzo per il calcolo simbolico
4) Algoritmi relativi al calcolo ed uso delle basi di Groebner.
I risultati di apprendimento attesi sono:
1) Al termine di Algebra 3 si è in grado di riconoscere un anello o un modulo Noetheriano e di illustrare le sue proprietà salienti anche attraverso la riproduzione delle principali dimostrazioni ad essi associate.
2) Al termine di Algebra 3 si è in grado di risolvere esercizi relativi ad ideali e moduli con struttura particolare come per esempio gli ideali monomiali.
3) Al termine di Algebra 3 si è in grado di illustrare come l'utilizzo delle basi di Groebner consenta di risolvere algoritmicamente  problemi come l' appartenenza di un polinomio ad un ideale o al suo radicale,  il calcolo dell'intersezione fra ideali e delle loro sizigie, l'eliminazione di variabili e il calcolo di nuclei di omomorfismi di algebre.
4)  Al termine di Algebra 1 si è in grado di decidere algortimicamente se un sistema di equazioni polinomiali ha soluzioni e di descriverle per quanto possibile esplicitamente.  
5) Al termine di Algebra 1 si è in grado di programmare sistemi di calcolo simbolico come CoCoA5 per risolvere problemi computazionali concreti. 

PREREQUISITI

Conoscenza delle strutture algebriche di base: spazi vettoriali, gruppi ed anelli.

MODALITA' DIDATTICHE

Lezioni frontali ed esercitazioni al calcolatore con utilizzo dei programmi di calcolo simbolico

PROGRAMMA/CONTENUTO

Anelli e ideali e moduli.

Anelli Noetheriani e il teorema della base di Hilbert.

Polinomi in piu'  variabili: l'anello K[x_1,...,x_n] dei polinomi in più variabili a coefficienti in un campo.

Ideali monomiali.

Algebre

Basi di Gröbner, ordinamento e divisione con resto.

Algoritmo di Buchberger.

Problema dell'appartenenza di un polinomio ad un ideale o al suo radicale. Intersezione di ideali. Eliminazione. Calcolo di nuclei di mappe fra algebre e fra moduli.

Soluzione di sistemi di equazioni polinomiali.

Aspetti computazionali e implementativi delle basi di Groebner.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Computational Commutative Algebra 1
Authors: Kreuzer, Martin, Robbiano, Lorenzo
Springer 2000.

Note informali di algebra computazionale. Aldo Conca 2020. 

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

ALDO CONCA (Presidente)

ANNA MARIA BIGATTI

MATTEO VARBARO (Presidente Supplente)

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

Orari delle lezioni

L'orario di tutti gli insegnamenti è consultabile all'indirizzo EasyAcademy.

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste in una prova orale e di una prova di laboratorio computazionale. 

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

La prova orale consiste in

1) la  discussione di una nozione di base fra quelle presentate nel prima parte del corso illustrata attraverso esempi rilevanti e dimostrazioni.

2)  la discussione ed illustrazione di uno dei problemi computazionali  di base e la sua soluzione algoritmica mediante l'utilizzo delle basi di Groebner con relative dimostrazioni ed procedure algoritmiche. 

La parte di laboratorio consiste nella scrittura di programmi ci calcolo simbolico mediante CoCoA5 per la risoluzione di problemi concreti.

Calendario appelli

ALTRE INFORMAZIONI

Pagine Web dei docenti:

- Parte teorica: 

https://rubrica.unige.it/personale/UEdCU1g=

- Parte computazionale: https://www.dima.unige.it/~bigatti/

Modalità di frequenza: Consigliata.
La frequenza è altamente consigliata in quanto le lezioni e le esercitazioni di laboratorio risultano fondamentali per comprendere gli argomenti trattati. Questi sono infatti un misto di teoria e pratica algebrica, spesso motivate da considerazioni euristiche che non si trovano esposte nei testi.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il  Settore Servizi di supporto alla disabilità e agli studenti con DSA ed i docenti del corso per avere informazioni sulle modalità  d’esame e di apprendimento proposte ed in particolare degli  idonei strumenti compensativi.