PRESENTAZIONE

Il corso è centrato sui metodi di analisi di Fourier che si utilizzano per la soluzione di problemi al contorno per le classiche equazioni differenziali alle derivate parziali della fisica matematica. Quindi viene presentata la teoria delle serie di Fourier e della trasformata di Fourier combinando una dose ragionevole di rigore matematico formale con una certa attenzione alle applicazioni. Le nozioni di base sulla teoria delle funzioni di una variabile complessa sono anche trattate a causa della loro pervasività nelle applicazioni.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Fornire allo studente alcuni metodi per ottenere sviluppi in serie di potenze e di Fourier, per risolvere problemi al contorno per equazioni alle derivate parziali e per lo studio delle funzioni analitiche di una variabile complessa. Forme quadratiche e matrici.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Lo studente dovrà acquisire le conoscenze basilari di analisi di Fourier (serie e trasformata) utili al fine di  risolvere problemi al contorno per equazioni alle derivate parziali classiche (calore, Laplace, onde). Dovrà comprendere le tecniche fondamentali di separazione delle variabili e di trasformazione in frequenza. Accanto alla problematica relativa alle equazioni alle derivate parziali, lo studente dovrà apprendere le nozioni principali sulle funzioni analitiche di una variabile complessa.

PREREQUISITI

Analisi matematica del primo biennio e algebra lineare.

MODALITA' DIDATTICHE

Lezioni alla lavagna e qualche illustrazione al computer.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità  o di altri bisogni educativi speciali di contattare il docente all'inizio del corso per concordare modalità didattiche e d'esame che, nel rispetto degli obiettivi dell'insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Introduzione al corso

Prima parte: richiami su serie numeriche e serie di funzioni

• Serie numeriche: definizioni, convergenza, proprietà di base, esempi
• Criteri di convergenza per serie a termini non negativi e convergenza assoluta. Criterio di Leibniz per serie a segni alterni.
• Serie di funzioni: definizione, convergenza puntuale e uniforme, esempi.
• Condizioni per scambiare limite, derivata e integrali con la serie.
• Convergenza totale. 

Seconda parte: serie di Fourier e Trasformata di Fourier

• Genesi della serie di Fourier: risoluzione dell'equazione del calore.
• Serie di Fourier: definizione e proprietà di base. Criteri di convergenza puntuale, uniforme e totale per serie di Fourier.
• Derivabilità termine a termine. Esempi. Serie di Fourier di funzioni pari o dispari. Forma esponenziale complessa.
• Spazio L^2 e L^1 e metriche associate. Prodotto scalare in L^2, norma, distanza, basi ortonormali. Identità di Parseval, convergenza L^2 delle serie di Fourier.
• Trasformata di Fourier in L^1: definizione, proprietà di base, esempi. Trasformata di Fourier della gaussiana.
• Prodotto di convoluzione: definizione e proprietà. Trasformata di Fourier inversa. Trasformata di Fourier in L^2. Teorema di Plancherel.

Terza parte: applicazioni alla risoluzione di equazioni alle derivate parziali

• Problemi ben posti: definizione di Hadamard.
• Equazione del calore: introduzione e problemi ben posti. Risoluzione del problema di Dirichlet omogeneo con serie di Fourier e del problema non omogeneo.
• Calore: unicità con metodo dell'energia. Proprietà di stabilità e principio del massimo.
• Calore: problema di Cauchy globale e risoluzione con trasformata di Fourier.
• Equazione delle onde: introduzione e problemi ben posti. Soluzione del problema di Cauchy globale con la formula di d'Alembert.
• Onde: risoluzione del problema di Dirichlet omogeneo con serie di Fourier. Unicità con stime dell'energia.
• Equazioni di Laplace/Poisson: introduzione e problemi ben posti. Teorema di esistenza della soluzione del problema di Dirichlet e Neumann.
• Funzioni armoniche: definizione, proprietà della media, principio del massimo, unicità e stabilità.
• Soluzione dell'equazione di Laplace nel disco con la formula di Poisson. Altre proprietà delle funzioni armoniche.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Sandro Salsa, Equazioni a Derivate Parziali, Metodi, Modelli e Applicazioni, Springer Verlag Italia, Milano 2016.

Marco Codegone e Luca Lussardi,  Metodi Matematici per l'Ingegneria, Zanichelli, 2021.

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

MATTEO SANTACESARIA (Presidente)

FILIPPO DE MARI CASARETO DAL VERME (Presidente Supplente)

ERNESTO DE VITO (Presidente Supplente)

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Ci saranno due prove in itinere, una a metà e una alla fine del semestre. Saranno delle prove scritte di due ore, con due o tre esercizi sulle parti di programma già affrontate. Chi supera entrambe le prove con un voto superiore a 15 in ciascuna prova e una media di almeno 18 può registrare direttamente il voto senza fare un'orale. L'orale è possibile per chi volesse provare a migliorare il voto. All'orale viene chiesta una selezione di argomenti del corso, che viene definita alla fine del semestre e resa disponibile su Aulaweb.

Negli appelli regolari, ci sarà un esame scritto di due ore, con tre esercizi. L'esame orale è facoltativo.

Regole dell'esame scritto. Si possono usare appunti cartacei di qualsiasi tipo. Sono vietati strumenti elettronici (calcolatrici, telefoni, computer) ad eccezione di tablet da usare unicamente per consultare appunti.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità  o di altri bisogni educativi speciali di contattare il docente all'inizio del corso per concordare modalità didattiche e d'esame che, nel rispetto degli obiettivi dell'insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

L'esame scritto valuterà la capacità di risolvere equazioni alle derivate parziali con metodi di serie di Fourier o trasformata di Fourier. Verranno valutate la chiarezza e l'ordine dell'esposizione, la correttezza della soluzione, la qualità e il rigore delle argomentazioni e deduzioni. L'esame orale valuterà le conoscenze più specifiche su una selezioni degli argomenti teorici trattati nel corso. Verranno valutate la capacità di esposizione e la correttezza delle argomentazioni logico-deduttive.

Calendario appelli

ALTRE INFORMAZIONI

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.