PRESENTAZIONE

L’insegnamento di Topologia Algebrica è un'Introduzione alle tecniche algebriche in topologia. In particolare introdurremo l'omologia e la coomologia singolare, i gruppi di omotopia superiore ed eventualmente l'omologia persistente. 

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Obiettivo dell'insegnamento è fornire allo studente un'introduzione elementare ai concetti e ai metodi della Topologia Algebrica.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Lo scopo di questo insegnamento è consolidare le tecniche di topologia algebrica già apprese nell'insegnamento di Geometria 2. In particolare l'obiettivo dell'insegnamento è introdurre:

• la teoria dei rivestimenti e i rivestimenti universali; 
• la teoria dei CW-Complessi;
• la teoria dell’omologia e della coomologia singolare;
• i gruppi di omotopia superiore.

Verranno trattate le motivazioni e il background storico sulla nascita di questi oggetti matematici.

Inoltre, l'insegnamento si propone di allenare:

• la capacità di usare precisamente il linguaggio tecnico della topologia algebrica;
• la capacità di formalizzare problemi geometrici in termini algebrici;
• la capacità di dimostrare semplici teoremi di topologia algebrica.

Al termine dell'insegnamento lo studente sarà in grado di:

• calcolare i rivestimenti di uno spazio topologico;
• calcolare il quoziente di uno spazio topologico sotto l'azione di un gruppo.
• Stabilire se uno spazio topologico è un CW-Complesso e determinare una sua suddivisione cellulare.
• Calcolare i gruppi di omologia e coomologia di semplici spazi topologici.
• Calcolare l'anello di coomologia di semplici spazi topologici.

PREREQUISITI

L'insegnamento  è una naturale prosecuzione dell'insegnamento di Geometria 2. E' consigliabile aver seguito almeno un corso di: algebra lineare e geometria analitica, algebra generale, topologia generale e un'introduzione alla topologia algebrica.

MODALITA' DIDATTICHE

Tradizionale: lezione frontale. 

 La frequenza è caldamente consigliata 

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Richiami su varietà topologiche e varietà differenziabili.
2. Teoria dei rivestimenti e azioni di gruppi propriamente discontinue.
3. Rivestimento universale.
4. CW - Complessi e loro proprietà.
5. Omologia e Coomologia singolare. In particolare vengono presentati il Teorema di Mayer-Vietoris e il Teorema del coefficiente universale. 
6. Anelli di coomologia
7. Gruppi di omotopia superiore.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

1. M Manetti: Topologia , Springer.

2. C Kosniowski: Introduzione alla topologia algebrica , Zanichelli.

3. W.S. Messey: A basic Course in Algebraic Topology , Springer.

4. Allen Hatcher Algebraic Topology, on-line notes

5. Weibel   Homological algebra, Cambridge University Press

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

MATTEO PENEGINI (Presidente)

FABIO TANTURRI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

L'orario di tutti gli insegnamenti è consultabile su EasyAcademy.

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Orale.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Durante l'esame orale lo studente dovrà essere in grado di: dimostrare i teoremi presentati a lezione, riportare corettamente tutte le definizione e risolvere semplici esercizi di calcolo di rivestimenti, di omologia e coomologia. 

Calendario appelli