PRESENTAZIONE

L'insegnamento presenta un'introduzione all'analisi di Fourier.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Scopo dell'insegnamento è fornire una introduzione alle idee e ai metodi dell'analisi di Fourier, sul toro, sulla retta e nel caso discreto. Tra le applicazioni considerate, si darà particolare rilievo a problemi e tecniche dell'analisi del segnale, come il teorema del campionamento e la trasformata di Gabor.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Obiettivi formativi

Lo scopo dell'insegnamento è quello di fornire i contenuti di base dell'analisi di Fourier che sono ritenuti fondamentali per la preparazione degli studenti della laurea magistrale in matematica.

Risultati di apprendimento attesi

Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà conoscere i concetti teorici introdotti a lezione, costruire e discutere esempi relativi a ciascuno di essi (in modo da comprendere meglio i concetti astratti), effettuare/ricostruire le dimostrazioni viste a lezione o facili varianti di queste e risolvere esercizi sugli argomenti relativi all'insegnamento.

PREREQUISITI

I concetti di base di analisi funzionale e teoria della misura (Istituzioni di Analisi Superiore 1).

MODALITA' DIDATTICHE

L'insegnamento è articolato in lezioni frontali svolte dal docente in cui viene esposta la teoria e in cui vengono discussi esempi di base (quattro ore alla settimana). Queste sono integrate da esercitazioni (due ore alla settimana): agli studenti sarà richiesto di preparare degli esercizi e di discuterli con il docente e gli altri studenti.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Serie di Fourier.

Coefficienti di Fourier di una serie trigonomertrica. Teoria L^2, Teoria L^1. Lemma di Riemann-Lebesgue, nucleo di Dirichlet, di Fejer e di Poisson e loro proprietà. Medie di Cesaro. Definizione di identità approssimata. Convoluzione in L^1. Continuità delle traslazioni in L^1. Iniettività della trasformata, inversione per trasformate in l^1 . Inversione in L^1 mediante identità approssimate. Teorema di Dirichlet. Enunciati dei teoremi di Du Bois Reymond, Carleson e Katznelson. Successioni a decrescenza rapida. Caratterizzazione di C-infinito. Derivate di convoluzioni. Convergenza della serie di Fourier: funzioni regolari a tratti e funzioni continue con derivata continua a tratti. Il fenomeno di Gibbs. Applicazioni: il calore della terra, sul filo e sul disco. Nucleo di Gauss-Weierstrass.

Trasformata di Fourier in R^n 

Definizione dello spazio di Schwartz e proprietà di densità. Convoluzione in R^n. Identità approssimate. Il nucleo del calore. Introduzione informale alla trasformata di Fourier F: serie su intervalli crescenti. Proprietà della trasformata di Fourier. Formula di moltiplicazione, teorema di convoluzione. Inversione in L^1. Formula di Poisson. Teoria L^2. La diseguaglianza di Young. Definizione di F su L^2. Proprietà di F. Teorema di convoluzione in L^2. Teorema di Paley-Wiener. Teorema di Shannon.

Distribuzioni temperate.

Proprietà della trasformata di Fourier su S. Definizione di distribuzione temperata: lo spazio S'. Operazioni elementari sulle distribuzioni. Distribuzioni associate a funzioni localmente integrabili. Convergenza in S'. Definizione e proprietà della trasformata di Fourier su S'.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Dispense di Vincenza Del Prete (aulaweb).

Per consultazione

• Y. Katznelson An introduction to harmonic analysis Collocaz Bibl. DIMA 43-1968-07
• H. Dym - H. P. Mc Kean, Fourier Series and Integrals, Academic Press, 1972.
• I. Korner, Fourier Analysis,1995.
• I. Korner, Exercises for Fourier Analysis,1995.
• E. Prestini, The Evolution of Applied Harmonic Analysis. Models of the Real World Series, A Birkhäuser 2004
• G.B. Folland Fourier analysis and its applications Collocaz Bibl. DIMA 42-1992-01
• E.M. Stein and G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971.

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

ANDREA BRUNO CARBONARO (Presidente)

SILVIA VILLA

FRANCESCA ASTENGO (Presidente Supplente)

TOMMASO BRUNO (Presidente Supplente)

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste in una prova orale.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Durante la prova orale vengono affrontati alcuni aspetti riguardanti la teoria svolta a lezione e viene richiesta la soluzione di qualche esercizio, relativo agli argomenti trattati a lezione. Questo consente di accertare le conoscenze degli studenti e le loro abilità a metterle in pratica.

Calendario appelli