Buona parte di questo corso di algebra commutativa sarà incentrata sul problema dell'assenza di basi per moduli su un anello, e sulla conseguente necessità di approssimare un modulo tramite moduli liberi (quei moduli che ammettono una base). Migliore è l'approssimazione, migliore è l'anello, in un senso combaciante con la nozione geometrica di singolarità.
Fornire agli studenti le basi dell’algebra omologica e nozioni come risoluzione libera e profondità di un modulo; introdurre/approfondire gli anelli regolari, gli anelli di Cohen-Macaulay e gli UFD.
Gli obiettivi più nel dettaglio sono i seguenti:
1) Presentare concetti di base dell'algebra omologica che consentano di definire risoluzioni proiettive e iniettive, i funtori derivati e le loro proprietà.
2) Generalizzare il concetto di non-zero divisore a quello di sequenza regolare in modo da studiare il concetto di grado.
3) Enunciare e dimostrare il Teorema di Auslander-Buchsbaum Serre che consente di caratterizzare gli anelli regolari. Inotrodurre alcune singolarità e studiarne le buone proprietà.
I risultati di apprendimento attesi sono:
1) Al termine di Algebra Commutativa 2 lo studente conosce la teoria delle risoluzioni proiettive e iniettive di un modulo, e sa come calcolarle in alcuni casi di ideali in anelli di polinomi o serie formali su un campo. Sa inoltre come calcolare funtori derivati quali Ext e Tor e ne conosce le proprietà principali.
2) Al termine di Algebra Commutativa 2 lo studente conosce la teoria delle sequenze regolari e della profondità, anche in relazione all'annullamento dei funtori Ext e Tor, e dell'omologia di Koszul.
3) Al termine di Algebra Commutativa 2 lo studente sa caratterizzare anelli regolari, e conosce le proprietà principali di alcune singolarità notevoli quali l'essere Cohen-Macaulay o Gorenstein.
É necessario aver seguito Algebra Commutativa 1 ed Algebra 3. Può essere utile aver seguito Istituzioni di Geometria Superiore.
La maggioranza delle ore del corso sarà dedicata a lezioni frontali di teoria. Durante il semestre verranno proposti fogli di esercizi che, tempo permettendo, verranno discussi collettivamente.
Algebra omologica: moduli proiettivi, iniettivi, risoluzioni, funtori derivati. Sequenze regolari, grado e profondità, complesso di Koszul. Anelli regolari, Cohen-Macaulay e cenni su anelli Gorenstein.
Bruns, Herzog, "Cohen-Macaulay rings", Cambridge studies in advances mathematica 39, 1994.
Eisenbud "Commutative algebra with a view toward algebraic geometry", Springer GTM 150, 1996
Matsumura "Commutative ring theory", Cambridge University Press, 1980
Ricevimento: Su appuntamento.
Ricevimento: Su appuntamento
EMANUELA DE NEGRI (Presidente)
MATTEO VARBARO
ALESSANDRO DE STEFANI (Presidente Supplente)
In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.
L'esame è orale.
L’esame orale verterà principalmente sugli argomenti trattati durante le lezioni frontali e avrà lo scopo di valutare non soltanto se lo studente ha raggiunto un livello adeguato di conoscenze, ma anche se ha acquisito la capacità di analizzare criticamente problemi legati ai contenuti del corso.
Verrà valutato sia il livello di conoscenza degli argomenti trattati che la capacità di presentarli in modo formale, coinciso e corretto.
Pagine Web dei docenti: https://www.dima.unige.it/~denegri/ https://www.dima.unige.it/~destefani/
Modalità di frequenza: Consigliata. La frequenza è altamente consigliata in quanto il contenuto delle lezioni risulta fondamentale al fine di comprendere lo sviluppo della disciplina presentata e le ragioni anche storiche di tale sviluppo.
Gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali sono pregati di contattare il Settore Servizi di supporto alla disabilità e agli studenti con DSA dell'ateneo di concordare con i docenti modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.
