PRESENTAZIONE

Le lezioni si tengono in lingua italiana.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Il corso si pone due obiettivi principali. Innanzitutto offrire un'introduzione alla teoria delle varietà algebriche affini e proiettive su un campo algebricamente chiuso, con particolare attenzione al caso delle curve algebriche piane. Specializzando al campo dei numeri complessi, si introducono quindi le superfici di Riemann (di cui le curve piane non singolari rappresentano esempi notevoli) e si dimostrano alcuni dei risultati fondamentali in questo ambito.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Obiettivo del corso è di fornire un'introduzione alla teoria delle superfici di Riemann, da una porspettiva topologica, analitica, geometrica e algebrica. Uno dei punti salienti di queste idee sarà il teorema di Riemann-Roch, la cui applicazione principale è mostrare che qualsiasi superficie di Riemann compatta è in realtà una curva algebrica proiettiva liscia. Inoltre questo ci condurrà direttamente nel regno della geometria algebrica e il nostro obiettivo è discutere alcuni dei principi di base di questo campo con l'attenzione principale sulla corrispondenza tra l'algebra degli anelli e la geometria delle soluzioni delle equazioni polinomiali.  Il messaggio più importante e unificante del corso è che è concepito come un luogo d'incontro ideale per la topologia, l'analisi, la geometria e l'algebra e mostra di conseguenza l'unità della matematica.

PREREQUISITI

Conoscenze di base di topologia, analisi complessa e algebra commutativa sono benvenute, ma non strettamente necessarie.

MODALITA' DIDATTICHE

In presenza o su Team, a seconda della situazione pandemia e normativa.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Superfici di Riemann includendo molti esempi. Mappe olomorfe tra superfici di Riemann. Molteplicità, grado, teorema di Riemann-Hurwitz e il genere di una curva piana proiettiva liscia. Funzioni meromorfe e divisori su superfici di Riemann. Sistemi lineari e loro connessione alle mappe olomorfe a spazi proiettivi. Forme differenziali e il teorema di Riemann-Hurwitz per esse. Il teorema di Riemann-Roch e le sue numerose applicazioni con l'obiettivo principale di dimostrare che qualsiasi superficie di Riemann compatta è una curva algebrica proiettiva liscia. Varietà algebriche e loro connessioni con anelli noetheriani. La topologia di Zariski e il dimensione di una varietà algebrica. Varietà proiettive e anelli graduati associati. Il teorema di Bézout e le sue conseguenze sulla geometria delle curve sui numeri complessi e anche sui numeri reali.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

•    R. Cavalieri and E. Miles - "Riemann surfaces and algebraic curves", Cambridge University Press, 2016.
•    A. Gathmann -  "Algebraic geometry" (dispense su https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2019/alggeom-2019.pdf)
•    A. Gathmann - "Plane algebraic curves" (dispense su https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/curves-2018/curves-2018.pdf)
•    F. Kirwan - "Complex algebraic curves", Cambridge University Press, 1992.
•    R. Miranda - "Algebraic curves and Riemann surfaces", American Mathematical Society, 1995.
•    I. R. Shafarevich - "Basic algebraic geometry I", Springer-Verlag, 1994, 2013.

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Orale.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Prova orale (comprendente seminario a scelta dello studente tra argomenti consigliati) e valutazione di esercizi scritti che saranno proposti durante il corso.

Calendario appelli

ALTRE INFORMAZIONI

Modalità di frequenza: Consigliata.
Comunque essenziale (come per la quasi totalità dei corsi).