CODICE | 66453 |
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ANNO ACCADEMICO | 2023/2024 |
CFU |
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SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE | MAT/03 |
LINGUA | Italiano |
SEDE |
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PERIODO | 2° Semestre |
MATERIALE DIDATTICO | AULAWEB |
PRESENTAZIONE
Le lezioni si tengono in lingua italiana.
OBIETTIVI E CONTENUTI
OBIETTIVI FORMATIVI
Il corso si pone due obiettivi principali. Innanzitutto offrire un'introduzione alla teoria delle varietà algebriche affini e proiettive su un campo algebricamente chiuso, con particolare attenzione al caso delle curve algebriche piane. Specializzando al campo dei numeri complessi, si introducono quindi le superfici di Riemann (di cui le curve piane non singolari rappresentano esempi notevoli) e si dimostrano alcuni dei risultati fondamentali in questo ambito.
OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO
Obiettivo del corso è di fornire un'introduzione alla teoria delle superfici di Riemann, da una porspettiva topologica, analitica, geometrica e algebrica. Uno dei punti salienti di queste idee sarà il teorema di Riemann-Roch, la cui applicazione principale è mostrare che qualsiasi superficie di Riemann compatta è in realtà una curva algebrica proiettiva liscia. Inoltre questo ci condurrà direttamente nel regno della geometria algebrica e il nostro obiettivo è discutere alcuni dei principi di base di questo campo con l'attenzione principale sulla corrispondenza tra l'algebra degli anelli e la geometria delle soluzioni delle equazioni polinomiali. Il messaggio più importante e unificante del corso è che è concepito come un luogo d'incontro ideale per la topologia, l'analisi, la geometria e l'algebra e mostra di conseguenza l'unità della matematica.
PREREQUISITI
Conoscenze di base di topologia, analisi complessa e algebra commutativa sono benvenute, ma non strettamente necessarie.
MODALITA' DIDATTICHE
In presenza o su Team, a seconda della situazione pandemia e normativa.
PROGRAMMA/CONTENUTO
Superfici di Riemann includendo molti esempi. Mappe olomorfe tra superfici di Riemann. Molteplicità, grado, teorema di Riemann-Hurwitz e il genere di una curva piana proiettiva liscia. Funzioni meromorfe e divisori su superfici di Riemann. Sistemi lineari e loro connessione alle mappe olomorfe a spazi proiettivi. Forme differenziali e il teorema di Riemann-Hurwitz per esse. Il teorema di Riemann-Roch e le sue numerose applicazioni con l'obiettivo principale di dimostrare che qualsiasi superficie di Riemann compatta è una curva algebrica proiettiva liscia. Varietà algebriche e loro connessioni con anelli noetheriani. La topologia di Zariski e il dimensione di una varietà algebrica. Varietà proiettive e anelli graduati associati. Il teorema di Bézout e le sue conseguenze sulla geometria delle curve sui numeri complessi e anche sui numeri reali.
TESTI/BIBLIOGRAFIA
- R. Cavalieri and E. Miles - "Riemann surfaces and algebraic curves", Cambridge University Press, 2016.
- A. Gathmann - "Algebraic geometry" (dispense su https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2019/alggeom-2019.pdf)
- A. Gathmann - "Plane algebraic curves" (dispense su https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/curves-2018/curves-2018.pdf)
- F. Kirwan - "Complex algebraic curves", Cambridge University Press, 1992.
- R. Miranda - "Algebraic curves and Riemann surfaces", American Mathematical Society, 1995.
- I. R. Shafarevich - "Basic algebraic geometry I", Springer-Verlag, 1994, 2013.
DOCENTI E COMMISSIONI
Ricevimento: L'orario del ricevimento settimanale sarà indicato su Aulaweb.
Ricevimento: Su appuntamento, contattando il docende per email all'indirizzo perego@dima.unige.it
LEZIONI
INIZIO LEZIONI
In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.
Orari delle lezioni
L'orario di tutti gli insegnamenti è consultabile all'indirizzo EasyAcademy.
ESAMI
MODALITA' D'ESAME
Orale.
Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.
MODALITA' DI ACCERTAMENTO
Prova orale (comprendente seminario a scelta dello studente tra argomenti consigliati) e valutazione di esercizi scritti che saranno proposti durante il corso.
Calendario appelli
Dati | Ora | Luogo | Tipologia | Note |
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02/09/2024 | 09:00 | GENOVA | Esame su appuntamento |
ALTRE INFORMAZIONI
Modalità di frequenza: Consigliata.
Comunque essenziale (come per la quasi totalità dei corsi).