CODICE | 38752 |
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ANNO ACCADEMICO | 2023/2024 |
CFU |
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SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE | MAT/02 |
LINGUA | Italiano |
SEDE |
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PERIODO | 1° Semestre |
MATERIALE DIDATTICO | AULAWEB |
OBIETTIVI E CONTENUTI
OBIETTIVI FORMATIVI
Scopo dell'insegnamento e' introdurre i concetti algebrici fondamentali, e le relative tecniche, utilizzati nello studio dell'aritmetica dei campi di numeri e, piu' in generale, degli anelli di Dedekind. Il corso fornisce prerequisiti algebrici necessari per affrontare questioni piu' avanzate in Teoria dei Numeri, Geometria Aritmetica ed argomenti collegati.
OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO
Lo studente arriverà a possedere una buona conoscenza delle nozioni fondamentali di Teoria Algebrica dei Numeri, quali fattorizzazione unica di ideali in domini di Dedekind, ramificazione di ideali primi in estensioni (eventualmente di Galois) di campi di numeri, gruppo delle classi di ideali in un dominio di Dedekind, numeri p-adici.
PREREQUISITI
I corsi (in particolare quelli di algebra) dei primi due anni della laurea triennale in Matematica.
MODALITA' DIDATTICHE
Modalità tradizionale.
PROGRAMMA/CONTENUTO
- Richiami e preliminari di algebra (anelli noetheriani, teorema cinese dei resti, anelli locali, lemma di Nakayama).
- Dipendenza intera; domini integralmente chiusi.
- Generalità sulle estensioni di campi.
- Teorema dell'elemento primitivo e sue conseguenze.
- Norma e traccia di un elemento.
- Ideali frazionari di domini di integrità.
- Domini di Dedekind.
- Fattorizzazione unica di ideali in domini di Dedekind.
- Il gruppo delle classi di un dominio di Dedekind.
- Gruppo delle classi e class number di un campo di numeri.
- Teoremi di Hermite-Minkowski, di Hermite e delle unità di Dirichlet.
- Ramificazione di ideali primi.
- Ramificazione e discriminante.
- Ramificazione in campi quadratici.
- Teorema fondamentale della teoria di Galois in caratteristica 0.
- Teoria di Hilbert della ramificazione, gruppo di decomposizione e gruppo di inerzia.
- Automorfismo di Frobenius.
- Campi ciclotomici: anello degli interi e discriminante.
- Legge di reciprocità quadratica.
- I numeri p-adici: definizioni e prime proprietà.
- Lemma di Hensel e alcune sue applicazioni.
- Principio locale-globale: enunciato e alcuni esempi.
- Teorema di Hasse-Minkowski: enunciato.
TESTI/BIBLIOGRAFIA
- S. Lang, Algebraic number theory, second edition, Springer, 1994.
- D. A. Marcus, Number fields, second edition, Springer, 2018.
- J. Neukirch, Algebraic number theory, Springer, 1999.
- P. Samuel, Algebraic theory of numbers, Dover, 2008.
DOCENTI E COMMISSIONI
Commissione d'esame
STEFANO VIGNI (Presidente)
SANDRO BETTIN
FRANCESCO VENEZIANO (Supplente)
LEZIONI
Orari delle lezioni
L'orario di tutti gli insegnamenti è consultabile all'indirizzo EasyAcademy.
ESAMI
MODALITA' D'ESAME
Prova orale sui contenuti del corso.
Calendario appelli
Dati | Ora | Luogo | Tipologia | Note |
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08/01/2024 | 09:00 | GENOVA | Esame su appuntamento | |
03/06/2024 | 09:00 | GENOVA | Esame su appuntamento |