PRESENTAZIONE

L’insegnamento di Topologia Algebrica è un'Introduzione alle tecniche algebriche in topologia. In particolare introdurremo l'omologia e la coomologia singolare, i gruppi di omotopia superiore ed eventualmente l'omologia persistente. 

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Obiettivo dell'insegnamento è fornire allo studente un'introduzione elementare ai concetti e ai metodi della Topologia Algebrica.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Lo scopo di questo insegnamento è consolidare le tecniche di topologia algebrica già apprese nell'insegnamento di Geometria 2. In particolare l'obiettivo dell'insegnamento è introdurre:

• la teoria dei rivestimenti e i rivestimenti universali; 
• la teoria dei CW-Complessi;
• la teoria dell’omologia e della coomologia singolare;
• i gruppi di omotopia superiore.

Verranno trattate le motivazioni e il background storico sulla nascita di questi oggetti matematici.

Inoltre, l'insegnamento si propone di allenare:

• la capacità di usare precisamente il linguaggio tecnico della topologia algebrica;
• la capacità di formalizzare problemi geometrici in termini algebrici;
• la capacità di dimostrare semplici teoremi di topologia algebrica.

Al termine dell'insegnamento lo studente sarà in grado di:

• calcolare i rivestimenti di uno spazio topologico;
• calcolare il quoziente di uno spazio topologico sotto l'azione di un gruppo.
• Stabilire se uno spazio topologico è un CW-Complesso e determinare una sua suddivisione cellulare.
• Calcolare i gruppi di omologia e coomologia di semplici spazi topologici.
• Calcolare l'anello di coomologia di semplici spazi topologici.

PREREQUISITI

L'insegnamento  è una naturale prosecuzione dell'insegnamento di Geometria 2. E' consigliabile aver seguito almeno un corso di: algebra lineare e geometria analitica, algebra generale, topologia generale e un'introduzione alla topologia algebrica.

MODALITA' DIDATTICHE

Tradizionale: lezione frontale. 

 La frequenza è caldamente consigliata 

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Richiami su varietà topologiche e varietà differenziabili.
2. Teoria dei rivestimenti e azioni di gruppi propriamente discontinue.
3. Rivestimento universale.
4. CW - Complessi e loro proprietà.
5. Omologia e Coomologia singolare. In particolare vengono presentati il Teorema di Mayer-Vietoris e il Teorema del coefficiente universale. 
6. Anelli di coomologia
7. Gruppi di omotopia superiore.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

1. M Manetti: Topologia , Springer.

2. C Kosniowski: Introduzione alla topologia algebrica , Zanichelli.

3. W.S. Messey: A basic Course in Algebraic Topology , Springer.

4. Allen Hatcher Algebraic Topology, on-line notes

5. Weibel   Homological algebra, Cambridge University Press

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

ARVID PEREGO (Presidente)

VICTOR LOZOVANU

MATTEO PENEGINI (Presidente Supplente)

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Dal 23 settembre 2024 secondo l'orario riportato qui 

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Orale.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Durante l'esame orale lo studente dovrà essere in grado di: dimostrare i teoremi presentati a lezione, riportare corettamente tutte le definizione e risolvere semplici esercizi di calcolo di rivestimenti, di omologia e coomologia. 

Calendario appelli