PRESENTAZIONE

In questo insegnamento si introducono le nozioni di base dell'algebra commutativa, disciplina nata dal lavoro di Hilbert e Dedekind di fine '800, e sviluppatasi nel corso del '900. Essa si interessa dello studio di anelli, detti Noetheriani, in cui ogni ideale è finitamente generato. Lo sviluppo dell'algebra commutativa è motivato da alcune domande naturali e, a priori, molto semplici. Tra queste: quale forma di fattorizzazione unica abbiamo negli anelli Noetheriani? Qual è il concetto "giusto" di dimensione di un anello?

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Lo scopo dell'insegnamento consiste nell'introdurre alcune nozioni di base dell'algebra commutativa tra le quali localizzazione, prodotto tensore, concetti di modulo Noetheriano e Artiniano, dimensione di Krull e dipendenza integrale.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Gli obiettivi nel dettaglio sono i seguenti:

1) Presentare allo studente alcune tecniche caratteristiche dell'algebra commutativa quali la localizzazione, il prodotto tensore, e l'estensione/contrazione di ideali.

2) Introdurre moduli Noetheriani ed Artiniani, e sviluppare la teoria dei primi associati di un modulo in relazione alla decomposizione primaria (il "sostituto" della fattorizzazione unica) di un ideale in un anello Noetheriano.

3) Caratterizzare gli anelli Artiniani introducendo la lunghezza di un modulo e la dimensione di un anello e, utilizzando tale caratterizzazione, dimostrare il Teorema dell'altezza di Krull (Hauptidealsatz di Krull).

4) Introdurre il concetto di dipendenza integrale al fine di calcolare la dimensione di Krull di algebre finitamente generate su un campo.

I risultati di apprendimento attesi sono:

1) Un forte consolidamento delle nozioni algebriche di base grazie alla teoria sviluppata a lezione, e alla discussione di esercizi assegnati, e dimestichezza nell'uso di tecniche standard dell'algebra commutativa.

2) Al termine di Algebra Commutativa 1 lo studente ha appreso gli attributi salienti degli anelli Noetheriani, conosce le caratteristiche della decomposizione primaria di un ideale, e sa calcolarla in alcuni casi notevoli (ad esempio nel caso di ideali monomiali).

3) Al termine di Algebra Commutativa 1 lo studente ha appreso la nozione di dimensione di Krull, e ha appreso come poterla calcolare nel caso di anelli locali, e nel caso di algebre finitamente generate su un campo.

PREREQUISITI

I prerequisiti riguardano i concetti di base dell'algebra: le strutture algebriche di gruppo, anello, modulo, algebra; gli omomorfismi tra di esse, i quozienti. 

MODALITA' DIDATTICHE

La maggioranza delle ore del corso sarà dedicata a lezioni frontali di teoria. Durante il semestre verranno proposti fogli di esercizi che verranno discussi collettivamente; alcune ore settimanali verranno appositamente riservate per queste discussioni.

PROGRAMMA/CONTENUTO

1) Richiami su anelli, ideali e moduli. Algebre. Localizzazione.

2) Condizioni sulle catene, anelli Noetheriani ed Artiniani. 

3) Decomposizione primaria di ideali, primi associati ad un modulo. 

4) Prodotto tensore di moduli, cenni su algebra tensoriale, simmetrica ed esterna.

5) Anelli di invarianti, operatore di Reynolds, sottoanelli puri, addendi diretti, algebre retratte.  

6) Teoria della dimensione, Krullhauptidealssatz e varianti. Sistemi di parametri e dimensione di anelli locali.

7) Dipendenza integrale, normalizzazione di Noether e dimensione di K-algebre finitamente generate. 

TESTI/BIBLIOGRAFIA

- Appunti del corso, messi a disposizione su Aulaweb

- M.F. Atiyah, I.G.  Macdonald, Introduzuione a l'algebra commutativa, Feltrinelli

- David Eisenbud Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer ISBN-13: 978-0387942698

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Dal 23 settembre 2024 secondo l'orario riportato qui 

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame è orale.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

L'esame orale consiste nella discussione degli aspetti teorici della disciplina visti a lezione e nella risoluzione di alcuni esercizi, sulla falsa riga di quelli discussi durante le ore di lezione. 

Viene valutato sia il livello di conoscenza degli argomenti trattati che la capacità di presentarli in modo formale, coinciso e corretto.  

Il voto finale si basa sull'andamento dell'esame orale, e tiene conto della partecipazione durante il semestre (durante le lezioni, e alle sessioni di esercizi).

ALTRE INFORMAZIONI

Modalità di frequenza: Consigliata.
La frequenza è altamente consigliata in quanto il contenuto delle lezioni risulta fondamentale al fine di comprendere lo sviluppo della disciplina presentata e le ragioni anche storiche di tale sviluppo.

Si ricorda alle studentesse e agli studenti con disabilità o con disturbi specifici dell'apprendimento (DSA) che per poter richiedere adattamenti in sede d'esame occorre seguire le istruzioni descritte in dettaglio su Aulaweb https://2023.aulaweb.unige.it/course/view.php?id=12490#section-3

In particolare, le agevolazioni vanno richieste con significativo anticipo (almeno 10 giorni) rispetto alla data di esame scrivendo alla/al docente con in copia il docente Referente di Scuola e l’Ufficio competente (vedi istruzioni).