In questo corso, studiamo le strutture matematiche che emergono dalla meccanica classica (cioè Newtoniana). Offrono un approccio sistematico per affrontare problemi di fisica complessi, ad esempio i moti vincolati. Verrà discussa in particolare la formulazione della meccanica svillupata da Lagrange, poi da Hamilton.
Si studieranno inoltre alcuni elementi della teoria della stabilità per sistemi dinamici classici. Sarà anche introddotto il calcolo delle variazioni: oltre ad essere la chiave a problemi di matematica pura sulla ricerca di estremali, porta a teorema fondamentali in fisica matematica, come il teorema di Noether.
In questo insegnamento verranno trattati i fondamenti della meccanica analitica sia lagrangiana che hamiltoniana e della teoria della stabilità.
Obiettivo del corso è la formulazione della meccanica analitica, sia dal punto di vista Lagrangiano che dal punto di vista Hamiltoniano, e le relative applicazioni alla risoluzione di problemi di carattere meccanico. Partendo dalle leggi di Newton e dall'esame dei sistemi vincolati, si giunge al formalismo Lagrangiano a alle equazioni di Eulero-Lagrange. La risolubilità delle equazioni di Eulero-Lagrange è discussa in dettaglio, esaminando in particolare la struttura dell'energia cinetica. Durante il corso vengono presi in esame diversi esempi di interesse fisico, relativi sia a sistemi di punti materiali che a corpi rigidi. Inoltre, il corso affronta la teoria della stabilità alla Ljapunov per sistemi dinamici autonomi e la sua applicazione alle piccole oscillazioni attorno alle configurazioni di equilibrio stabile di un sistema meccanico. Il passaggio dal formalismo Lagrangiano a quello Hamiltoniano è ottenuto mediante la trasformata di Legendre. Ciò consente di derivare le equazioni di Hamilton dalle equazioni di Eulero-Lagrange. Lo studio della struttura simplettica manifesta in meccanica Hamiltoniana è formalizzato mediante l'introduzione delle parentesi di Poisson, le cui proprietà sono discusse in dettaglio. Si è così naturalmente indotti a introdurre le trasformazioni canoniche come quelle trasformazioni che preservano la forma delle parentesi di Poisson e sono derivate alcune caratterizzazioni equivalenti, con particolare attenzione al metodo della funzione generatrice. La parte del corso dedicata alla meccanica Hamiltoniana è completata prendendo in esame le equazioni di Hamilton-Jacobi, il cui scopo è individuare un sistema di coordinate canoniche rispetto alle quali le equazioni di Hamilton risultano banali. Il corso presenta anche il principio variazionale, sia nel formalismo Lagrangiano che nel formalismo Hamiltoniano, e di alcune loro applicazioni a problemi di carattere sia geometrico che fisico. Culmina con l'enunciato e la dimostrazione del teorema di Noether. Per tutta la durata del corso, le lezioni sono accompagnate da esercitazioni, il cui obiettivo è preparare lo studente ad affrontare e risolvere in maniera autonoma un ampio spettro di problemi di natura meccanica da un punto di vista analitico.
Il corso si svolge mediante lezioni frontali. Parte del corso è costituito da lezioni di carattere teorico (circa 48), volte a illustrare gli aspetti formali delle teoria, accompagnati da alcuni esempi concreti. A integrazione della parte teorica del corso sono previste alcune esercitazioni pratiche (circa 24 ore), aventi lo scopo di illustrare l'uso concreto degli strumenti appresi durante il corso e di preparare lo studente a risolvere autonomamente problemi di meccanica analitica.
Meccanica del punto
Meccanica analitica dei sistemi olonomi
Principio variazionale
Introduzione allo studio della stabilità per sistemi dinamici
Meccanica Hamiltoniana
H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, “Classical Mechanics”, 3rd edn. Addison-Wesley, San Francisco, (2002).
V. I. Arnold “Metodi Matematici della Meccanica Classica” Editori Riuniti University Press, (2010).
V. Moretti “Meccanica analitca ”, Springer , (2020).
NICOLO' DRAGO (Presidente)
MARCO BENINI
SIMONE MURRO (Presidente Supplente)
PIERRE OLIVIER MARTINETTI (Supplente)
NICOLA PINAMONTI (Supplente)
Dal 17 febbraio 2025 secondo l'orario riportato qui
L'esame si divide in due parte:
-una prova scritta di 3 ore. Gli appunti del corso e degli esercizi sono autorizzati, ma solo in versione cartacea. Non è concesso l'uso du quaounque dispositivo elettronico, oltre alla calcolatrice di base, senza conessione internet.
- una prova orale, alle quale ha acesso chi supera la prova scritta. La prova orale consiste in due domande successive, una da ognuo dei due docenti coinvolti nel corso.
Chi supera la prova scritta può presentarsi alla sessione orale di sua scleta (non necessariamente quella subito dopo l'esame scritto).
L'accertamento dell'apprendimento avviene in due fasi. La prima fase consiste in una prova scritta, in cui si richiede allo studente di risolvere alcuni esercizi di meccanica utilizzando gli strumenti messi a disposizione dal corso. La seconda fase consiste in una prova orale, in cui si richiede allo studente di dimostrare dimestichezza con i concetti affrontati durante il corso e capacità di verificare i risultati che ne discendono.
Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.
