PRESENTAZIONE

L'insegnamento prevede di introdurre gli studenti agli spazi di Sobolev e quindi studiare soluzioni deboli di equazioni differenziali alle derivate parziali ed indagare anche aspetti variazionali di equazioni differenziali ellittiche, arrivando allo studio della regolarità.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Lo scopo dell'insegnamento è di fornire un'introduzione sugli spazi di Sobolev, e fornire interpretazione variazionale di alcune equazioni differenziali alle derivate parziali, studiandone anche la regolarità delle soluzioni. Come applicazione si forniranno semplici risultati di esistenza di soluzioni regolari.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Fornire contenuti fondamentali inerenti la teoria delle funzioni debolmente derivabili (funzioni Sobolev e loro caratterizzazioni). Interpretare soluzioni deboli di equazioni differenziali alle derivate parziali come minimi di problemi variazionali e viceversa tramite equazioni di eulero-lagrange; usare questo principio per dedurre esistenza e regolarità per tali equazioni differenziali. L'obbiettivo duplice del corso è fornire strumenti  e risultati fondamentali nell'analisi matematica nell'ambito delle equazioni alle derivate parziali e principi generali propri del calcolo delle variazioni.

Risultati di apprendimento attesi: Comprensione dei concetti e delle dimostrazioni svolte a lezione. Capacità di saper effettuare dimostrazioni che costituiscano varianti di dimostrazioni viste, di costruire esempi e constroesempi e di saper risolvere esercizi sugli argomenti relativi all'insegnamento.

PREREQUISITI

Analisi matematica 1,  2 e 3, Analisi Funzionale 1. Preferenzialmente anche Analisi Funzionale 2 ed Equazioni differenziali 1.

MODALITA' DIDATTICHE

Tradizionali: le lezioni verranno svolte dal docente alla lavagna.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Spazio W^{1,p} su un intervallo e definizione di derivata debole; densità delle funzioni lisce. Spazio W^{1,p} su R^n: equivalenza di definizione tramite integrazione per parti, chiusura di funzioni lisce (a seconda del tempo: caratterizzazione AC su rette). Spazio W^{1,p} su un aperto regolare e operatore di estensione. Embedding continui e compatti di spazi di Sobolev in spazi L^p e Holder. Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger. Formula di coarea, disuguaglianza isoperimetrica e disuguaglianza di Sobolev.

Equazioni differenziali in forma debole e relazione con principi variazionali tramite equazioni di Eulero-Lagrange (principalmente equazioni ellittiche a coefficienti costanti). Esistenza tramite Hopf-Lax. Stime di Caccioppoli e regolarità H^2 fino al bordo; bootstrap. (a seconda del tempo: regolarità L^p e paragone con formule esplicite nel caso di problemi di Poisson/Laplace). Regolarità per coefficienti non costanti regolari tramite congelamento (Schauder). Cenno alla regolarità Holder alla De Giorgi per coefficienti in L^{\infty}.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

H. Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations

L. Ambrosio, A. Massaccesi, A. Carlotto - Lectures on Elliptic Partial Differential Equations

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

SIMONE DI MARINO (Presidente)

MATTEO SANTACESARIA

FLAVIANA IURLANO (Presidente Supplente)

ANDREA BRUNO CARBONARO (Supplente)

FILIPPO DE MARI CASARETO DAL VERME (Supplente)

EDOARDO MAININI (Supplente)

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Febbraio 2025.

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Esame solo orale: a richiesta degli studenti parte dell'esame può essere effettuata facendo un piccolo seminario inerente gli argomenti del corso.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Durante l'esame vengono affrontati alcuni aspetti riguardanti la teoria svolta a lezione cosi' come viene richiesta la soluzione di qualche esercizio, relativo agli argomenti trattati a lezione. Questo consente di accertare la comprensione che gli studenti hanno degli argomenti trattati, le loro conoscenze e le loro capacita' a saper applicare i risultati teorici per risolvere gli esercizi.

A richiesta degli studenti parte dell'esame può essere effettuata facendo un piccolo seminario inerente gli argomenti del corso.

Calendario appelli