La teoria delle categorie è una branca molto giovane della matematica. Nata ufficilamente nel 1945 in seno all'algebra omologica, da un articolo di Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane, ha presto trovato importanti applicazioni in diverse aree della matematica, fra cui algebra, geometria e logica, grazie alle idee di Alexander Grothendieck e William Lawvere. Attualmente, oltre a espandere le proprie aree di applicazione, che ora si spingono anche alla fisica e all'informatica, si sta affermando come un linguaggio con cui mettere queste discipline, e le persone che ci lavorano, in comunicazione fra loro, isolando gli aspetti comuni delle definizioni e delle dimostrazioni e permettendo, ad esempio, di dare un significato preciso a concetti quali 'naturale' o 'canonico'.
L'insegnamento fornisce le nozioni di base di teoria delle categorie: categorie, funtori, trasfomazioni naturali, aggiunzioni, limiti, colimiti. Presenta inoltre alcuni risultati fondamentali, in particolare il Lemma di Yoneda e il Teorema Speciale del Funtore Aggiunto.
Scopo dell'insegnamento è di fornire una solida conoscenza dei concetti di base della teoria delle categorie, e i loro principali utilizzi nella pratica matematica. Al termine dell'insegnamento si sarà in grado di: - riformulare concetti e risultati noti, o che verranno appresi in seguito, usando il linguaggio della teoria delle categorie; - definire oggetti matematici tramite la loro prorietà universale, così come usare questa per ricavarne proprietà specifiche; - sfruttare il lemma di Yoneda e la rappresentabilità di funtori per ricavare risultati su categorie a partire da risultati su insiemi; - dimostrare proprietà di chiusura per classi di oggeti matematici usando i teoremi del funtore aggiunto e i teoremi di monadicità.
Lezioni frontali ed esercizi.
1. Concetti fondamentali: categorie, funtori, trasformazioni naturali. 2. Classi di morfismi in una categoria: epi, mono, ed isomorfismi; funtori pienamente fedeli. 3. Limiti e colimiti, oggetti universali; oggetti iniziali, terminali, co/prodotti, co/equalizzatori, pullback, pushout. 4. Il lemma di Yoneda; proprietà dei funtori rappresentabili. 5. Funtori aggiunti e loro proprietà; teoremi del funtore aggiunto, categorie cartesiane chiuse. 6. Possibili argomenti aggiuntivi: - Monadi; proprietà delle monadi; algebre e teorema di monadicità. - Categorie monoidali e monoidali chiuse; definizioni, esempi, usi.
E. Riehl. Category theory in context. Dover, 2015 S. Awodey. Category theory, 2nd edition. Oxford Logic Guides 52, 2010 S. Mac Lane. Categories for the working matematician, 2nd edition. Springer, 1998
Ricevimento: Su appuntamento, al termine delle lezioni o per email.
JACOPO EMMENEGGER (Presidente)
GIUSEPPE ROSOLINI
RICCARDO CAMERLO (Presidente Supplente)
SARA NEGRI (Presidente Supplente)
Dal 23 settembre 2024 secondo l'orario riportato qui
L'esame consiste di una prova orale. Si ricorda alle/agli studenti con disabilità o con disturbi specifici dell'apprendimento (DSA) che per poter richiedere adattamenti in sede d'esame occorre seguire le istruzioni descritte in dettaglio su Aulaweb all'indirizzo <https://2023.aulaweb.unige.it/course/view.php?id=12490#section-3>.
La prova orale verificherà l'effettivo apprendimento delle nozioni di base di teoria delle categorie, dei risultati visti durante il corso, e delle loro dimostrazioni e applicazioni. La valutazione d'esame prenderà in considerazione la correttezza dell'esposizione, la sua chiarezza e la precisione del ragionamento.
