PRESENTAZIONE

L'insegnamento "Analisi Matematica II" ha lo scopo di fornire agli studenti alcuni strumenti matematici, sia teorici che di calcolo, utili sia alla comprensione che alla risoluzione dei problemi avanzati di carattere ingegneristico che incontreranno nei corsi caratterizzanti.

L'insegnamento si focalizzerà sullo studio delle serie di funzioni, serie di Fourier, trasformata di Laplace, equazioni e sistemi di equazioni differenziali lineari, curve e superfici, campi vettoriali conservativi.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

L'insegnamento si propone di fornire gli strumenti essenziali relativi allo studio delle serie di potenze, delle serie di Fourier, della trasformata di Laplace nonché l’integrazione multipla, i sistemi di equazioni differenziali lineari e un’introduzione al calcolo integro-differenziale dei campi vettoriali.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

La frequenza e la partecipazione attiva alle attività formative dell’insegnamento consentiranno allo studente di acquisire conoscenza su strumenti matematici di base necessari ad affrontare futuri studi in campo ingegneristico.

Al termine dell'insegnamento lo studente avrà conoscenze teoriche e di calcolo sufficienti

• ad identificare e comprendere problemi di carattere generale in ambito ingegneristico inerenti quantità modellizzate matematicamente;
• a conoscere il concetto di serie numerica e di serie di funzioni e a valutarne la convergenza, utile nel calcolo approssimato di grandezze in ambito numerico-computazionale;
• ad utilizzare gli strumenti propri delle serie di Fourier e delle trasformate di Laplace, mediante i quali vengono risolti molti problemi di carattere ingegneristico;
• ad analizzare e modellizzare oggetti geometrici relativi a curve e superfici, e calcolare quantità ad essi associate;
• a comprendere e risolvere modelli semplici relativi ad equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie, mediante le quali vengono modellizzati fenomeni fisici di interesse ingegneristico;
• a riconoscere un campo conservativo e a calcolarne il relativo potenziale, utile nella modellizazione fisica di fenomeni in ambito applicativo.

PREREQUISITI

Gli argomenti degli insegnamenti del I anno “Analisi Matematica I” e “Geometria”.

MODALITA' DIDATTICHE

L’attività didattica è costituita unicamente da 52 ore di lezioni frontali svolte dal docente, nelle quali vengono introdotti gli argomenti nella loro impostazione teorica classica e contestualmente vengono risolti esercizi associati agli stessi argomenti, anche con esempi di carattere euristico-intuitivo.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Il programma dell’insegnamento prevede lo studio teorico e la risoluzione di esercizi nei seguenti argomenti:

• Integrali impropri su domini illimitati, integrali impropri di funzioni non limitate. 
• Serie numeriche. Criteri di convergenza per serie numeriche a segno costante. Serie numeriche a segni alterni e serie assolutamente convergenti. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale. Criteri di convergenza. Derivazione e integrazione di serie di funzioni (cenni). Serie di potenze, raggio di convergenza. Sviluppabilità in serie di Taylor.
• Serie di Fourier. Derivazione, integrazione e convergenza delle serie di Fourier; fenomeno di Gibbs (cenni). Serie di Fourier ed equazione del calore. Sistema trigonometrico, Basi ortonormali. Convergenza in norma 2.
• Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine qualunque. Caso omogeneo. Caso non omogeneo con forzante di tipo particolare (esponenziale per trigonometrico). Sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Caso omogeneo. Caso non omogeneo (cenni).
• Trasformata di Laplace. Proprietà. Antitrasformata di Laplace. Esempi ed esercizi. Applicazione alle eq.ni differenziali lineari.
• Curve regolari, chiuse, rettificabili. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea.
• Superfici regolari. Curve su superfici. Piano tangente. Area di superfici. Integrale di superficie.
• Integrale curvilineo di funzioni scalari. Integrale curvilineo di forme differenziali lineari.
• Forme differenziali esatte e campi conservativi. Potenziale. Formule di Gauss-Green nel piano. Flusso e integrale di superficie di campi vettoriali nello spazio. Insiemi semplicemente connessi e lemma di Poincaré. Calcolo del potenziale.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

In generale, gli appunti presi durante le lezioni e il materiale scaricabile dalla pagina web dell'insegnamento sono assolutamente sufficienti ad un'ottima preparazione utile all'esame finale. Più in dettaglio, risulta utile il materiale seguente:

Dispense di teoria “Matematica II” e "Metodi matematici per l'ingegneria" del prof. Maurizio Romeo, scaricabili gratuitamente dalla pagina web dell'insegnamento;

"Appunti sulle serie" del prof. Franco Parodi, scaricabili gratuitamente dalla pagina web dell'insegnamento;

"Appunti sulla trasformata di Laplace" del prof. Paolo Tilli, scaricabili gratuitamente dalla pagina web dell'insegnamento;

Fogli contenenti link a pagine web con diversi esercizi risolti, scaricabili gratuitamente dalla pagina web dell'insegnamento;

Fusco N., Marcellini P., Sbordone C., Analisi Matematica 2, Liguori, 1996, o altro testo di Analisi Matematica II.

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

https://corsi.unige.it/corsi/8784/studenti-orario

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale.

La prova scritta consiste nella risoluzione di esercizi sui diversi argomenti del corso. Lo scritto dovrà essere effettuato prima della prova orale e potrà essere sostenuto sia in appelli precedenti, che nello stesso appello in cui lo studente intende sostenere l’esame orale.

Alla prova orale possono accedere solo gli studenti che hanno precedentemente superato la prova scritta con una votazione maggiore o uguale a 16/30.

Saranno disponibili almeno 2 appelli di esame per la sessione invernale (metà gennaio e febbraio) e 3 appelli per la sessione estiva (giugno, luglio e settembre).

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

La prova scritta, obbligatoria, consiste nella risoluzione di quattro o cinque esercizi scelti tra i seguenti gruppi di argomenti del corso

• Serie e serie di potenze
• Serie doi Fourier
• Trasformata di Laplace
• Integrali di linea
• Integrali di superficie
• Formula di Gauss-Green
• Campi conservativi e calcolo di potenziale

La tipologia di ogni singolo esercizio esercizi è affine a quanto svolto durante le lezioni. L’esame scritto verificherà l’effettiva acquisizione delle metodologie di calcolo utili alla risoluzione degli esercizi proposti.

La prova orale, a cui lo studente accede dopo aver superato la prova scritta, verte principalmente sugli argomenti di carattere teorico svolti dal docente, e si prefigge di accertare la comprensione degli stessi, anche mediante la discussione e la giustificazione intuitiva dei concetti analitici e geometrici. In alcuni casi potrà essere chiesto di risolvere un semplice esercizio di una tipologia già affrontata e risolta durante le lezioni.

ALTRE INFORMAZIONI

Modalità di frequenza: fortemente consigliata.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.