PRESENTAZIONE

L'insegnamento fornisce un'introduzione alla topologia generale. In particolare, insegna definizioni e proprietà degli spazi metrici, degli spazi topologici e delle funzioni continue tra di essi. È un corso per studenti del secondo anno, i cui concetti e competenze saranno utili per i corsi successivi.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

L'insegnamento si propone di introdurre lo studente ai fondamenti della Topologia Generale, con particolare attenzione alle nozioni di continuità, connessione e compattezza.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Lo scopo di questo insegnamento è introdurre le tecniche e lo studio della  topologia generale. In particolare l'obiettivo dell'insegnamento è:

• introdurre la teoria degli spazi topologici.
• Studiare i principali invarianti per omeomorfismo degli spazi topologici.
• Introdurre la teoria della metrizzabilità.
• Forrnire un numero consistente di esempi di spazi topologici.

Verranno trattate le motivazioni e il background storico sulla nascita di questi oggetti matematici.

Inoltre, l'insegnamento si propone di allenare:

• la capacità di usare precisamente il linguaggio tecnico della topologia;
• la capacità di formalizzare problemi geometrici in termini topologici;
• la capacità di dimostrare semplici teoremi di topologia.

Al termine dell'insegnamento lo studente sarà in grado di:

• calcolare i principali invarianti di uno spazio topologico;
• calcolare il quoziente di uno spazio topologico sotto l'azione di un gruppo.
• Stabilire se uno spazio topologico ha determinate proprietà quali compattezza, connessione, connessione per archi e quali assiomi di separazione soddisfa.

PREREQUISITI

I contenuti degli insegnamenti del primo anno della laurea in matematica.

MODALITA' DIDATTICHE

L'obiettivo principale delle lezioni è presentare i contenuti teorici della disciplina affiancandoli con del corso esercizi mirati alla migliore comprensione della stessa. La frequenza alle lezioni e alle esercitazioni è fortemente consigliata
Si invitano gli studenti lavoratori e gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali

PROGRAMMA/CONTENUTO

• Spazi metrici: prime proprietà.
• Applicazioni continue fra spazi metrici; isometrie.
• Spazi topologici: prime proprietà.
• Interno e chiusura di un sottoinsieme di uno spazio topologico.
• Basi di aperti e sistemi fondamentali di intorni.
• Assiomi di numerabilità.
• Successioni in spazi topologici.
• Applicazioni continue fra spazi topologici; omeomorfismi.
• Sottospazi di uno spazio topologico.
• Prodotti (arbitrari) di spazi topologici.
• Quozienti di spazi topologici.
• Assiomi di separazione (in particolare: spazi di Hausdorff).
• Connessione; connessione locale.
• Compattezza; compattezza locale.
• Teorema di Tychonoff (per prodotti arbitrari).
• Compattezza numerabile; compattezza per successioni.
• Compattificazione di Alexandroff.
• Equivalenza per spazi metrizzabili delle nozioni di compattezza, compattezza numerabile e compattezza per successioni.
• Spazi metrici completi.
• Completamento di uno spazio metrico.
• Lemma di Urysohn.
• Teorema di metrizzabilità di Urysohn.
• Teorema di Tietze.
• Spazi di Baire.
• Studio delle superfici topologiche.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

1. M. Manetti, Topologia, seconda edizione, Springer, 2014.

2.  C Kosniowski: Introduzione alla topologia algebrica , Zanichelli.

3. S. Willard, General topology, Dover, 2004. 

4. V. Checcucci, A. Tognoli, A. Vesentini, Lezioni di topologia generale, Feltrinelli, 1968.

5. 3. W.S. Messey: A basic Course in Algebraic Topology , Springer.

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

https://corsi.unige.it/corsi/11897

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Scritto e orale.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

Inoltre, si ricorda alle studentesse e agli studenti con disabilità o con disturbi specifici dell'apprendimento (DSA) che per poter richiedere adattamenti in sede d'esame occorre seguire le istruzioni descritte in dettaglio su Aulaweb https://2023.aulaweb.unige.it/course/view.php?id=12490#section-3In particolare, le agevolazioni vanno richieste con significativo anticipo (almeno 10 giorni) rispetto alla data di esame scrivendo al/alla docente con in copia il docente Referente di Scuola e l’Ufficio competente (vedi istruzioni). 

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

La parte scritta dell'esame consisterà nella risoluzione di esercizi sui contenuti del corso.

L’orale verterà principalmente sugli argomenti trattati durante le lezioni frontali e avrà lo scopo di valutare il livello di conoscenze raggiunto dallo studente.

Il risultato ottenuto nella prova scritta serve come base al punteggio finale e viene corretto in sede di prova orale, sia in positivo che negativo. 

ALTRE INFORMAZIONI

Rivolgersi al docente per ulteriori informazioni non comprese nella scheda insegnamento