PRESENTAZIONE

In Algebra 2 presentiamo le principali strutture algebriche astratte che abbiamo incontrato in modo informale e principalmente sotto forma di esempi in Algebra 1. In particolare discutiamo le nozioni di  gruppo ed anello. Inoltre inizieremo la trattazione delle estensioni di campi. Le lezioni si tengono in lingua italiana. 

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Vengono presentati i principali concetti di algebra astratta che sono stati  introdotti in modo meno formale in  Algebra 1.  In particolare,  vengono discusse  le nozioni e principali proprietà delle strutture algebriche di gruppo ed anello e vengono introdotte le estensioni di campi.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Scopo dell’insegnamento è:

1) introdurre i concetti algebrici di base e le relazioni fra di essi.

2) descrivere la costruzione di oggetti algebrici astratti, la loro rappresentazione,  il loro riconoscimento e la loro manipolazione.

3) analizzare in maniera approfondita e dettagliata i concetti di gruppo libero, azione di un gruppo su di un insieme e decomposizione in orbite associata, la classificazione dei gruppi Abeliani finitamente generati,  i teoremi di isomorfismo, la fattorizzazione unica in anelli,  i campi finiti, gli elementi algebrici ed i loro polinomi minimi.

Al termine dell’insegnamento, lo studente sarà in grado di:
1)  Comprendendere le varie tipologie di strutture algebriche astratte e riconoscerne le differenze e similitudini tra di esse.
2)  Decidere se una struttura algebrica astratta possiede determinate caratterstiche. 
3)  Costruire strutture algebriche astratte con specifiche caratteristiche
4) Riprodurre e generalizzare costruzioni ed argomenti teorici finalizzati alla comprensione ed analisi delle strutture algebriche astratte. 

PREREQUISITI

I prerequisiti riguardano i concetti e gli esempi di strutture algebriche presentati negli insegnamenti di Algebra 1 e Algebra Lineare.

MODALITA' DIDATTICHE

L’insegnamento è articolato in lezioni frontali svolte dai docenti in cui verrà esposta la teoria, che verrà applicata ad esempi concreti ed illustrata attraverso la risoluzione di esercizi. 
Le studentesse e studenti con certificazioni valide per Disturbi Specifici dell’Apprendimento
(DSA), per disabilità o altri bisogni educativi sono invitati a contattare il docente e il referente per la disabilità della Scuola/Dipartimento all’inizio delle lezioni  per concordare eventuali modalità didattiche che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali.

Le studentesse e gli studenti e gli studenti impossibilitati a frequentare le lezioni  sono invitati a contattare il docente per concordare incontri a loro dedicati e materiale specifico.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Gruppi, periodo di un elemento, gruppi ciclici, sottogruppi, sottogruppi normali  e gruppi quozienti. Omomorfirmi e isomorfismi. Gruppo degli automorfismi.  Prodotti cartesiani di gruppi, prodotti semidiretti di gruppi. Azioni di gruppi su insiemi, orbite e stabilizzatori.  Gruppi lineari, gruppi di permutazioni, gruppi liberi, presentazioni di gruppi. Gruppi finiti di ordine basso. Gruppi Abeliani, gruppi Abeliani finitamente generati, gruppi di torsione. Il Teorema di struttura dei gruppi Abeliani finitamente generati e le sue applicazioni.

Anelli, anelli commutativi, anelli unitari. Elementi invertibili, zero divisori, nilpotenti, idempotenti.  Anelli che sono corpi o campi, domini di integrità, anelli ridotti. Sottoanelli ed ideali.  Anelli quoziente, ideali massimali, idelai primi ed ideali radicali. Il corpo dei  quaternioni.  Caratteristica di un anello unitario. Anelli euclidei, gli interi di Gauss, PID  e anelli con fattorizzazione unica. Anelli di polinomi, omomorfismi di valutazioni,  anelli Noetheriani. Isomorfismi canonici. Il teorema Cinese dei resti in un PID. Omomorfismo di Frobenious. Campi finiti. Estensioni di campi. Elementi algebrici e trasscendenti. Estensioni finite. Il campo di spezzamento di un polinomio.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

In generale, gli appunti presi durante le lezioni e il materiale messo a disposizione su aul@web sono sufficienti per lo studio e la preparazione dell'esame sia scritto che orale. I libri sotto indicati sono suggeriti come testi di appoggio per eventuali approfondimenti o per studentesse e studenti non frequentanti.   

M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri;

Lindsay N. Childs, "Algebra, un'introduzione concreta",   ETS Editrice Pisa, 1989.

D.Dikranjan, M.Lucido, Aritmetica ed Algebra, Liguori Eds.

Esercizi scelti di Algebra, Volume 1,
Rocco Chirivì , Ilaria Del Corso , Roberto Dvornicich
Springer Verlag Collana: Unitext.

Esercizi scelti di Algebra, Volume 2,
Rocco Chirivì , Ilaria Del Corso , Roberto Dvornicich
Springer Verlag Collana: Unitext.

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

22 settembre 2025

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste in due prove, una prova  scritta  ed una prova orale.  Per accedere alla prova orale è necessario superare la prova scritta con un punteggio maggiore o uguale a 18 punti su 30.  Nella prova orale viene assegnato un punteggio appartenente all'intervallo [-13,13]. La prova complessiva risulta superata se la somma fra il punteggio della prova scritta  e della prova  orale risulta maggiore o uguale a 18.   Sono previste prove scritte intermedie che, se superate,  possono sostituire il superamento della prova scritta.

Stedentesse e studenti con certificazioni valide per Disturbi Specifici dell’Apprendimento
(DSA), per disabilità o altri bisogni educativi sono  invitati a contattare il docente e il referente per la disabilità della Scuola/Dipartimento all’inizio delle lezioni  per concordare eventuali  di verifica dell'apprendimento che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali.
 

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

La prova  scritta che consiste nella risoluzione di esercizi relativi al programma svolto e del tipo presentati in classe.  La prova orale che consiste nella discussione di esercizi, di esempi, di nozioni teoriche, di definizioni, di costruzioni e di dimostrazioni dei teoremi principali presentati durant le lezioni.

Stedentesse e studenti con certificazioni valide per Disturbi Specifici dell’Apprendimento
(DSA), per disabilità o altri bisogni educativi sono  invitati a contattare il docente e il referente per la disabilità della Scuola/Dipartimento all’inizio delle lezioni  per concordare eventuali modalità specifiche di verifica dell'apprendimento.

ALTRE INFORMAZIONI

La frequenza alle lezioni è consigliata. E' consigliata anche la partecipazione al ricevimento studenti settimanale, alle esercitazione guidate ed alle prove intermedie.