PRESENTAZIONE

L'insegnamento è rivolto agli studenti del secondo anno e si propone di introdurre le nozioni di base della Topologia Algebrica e della Geometria Differenziale.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Nella prima parte, di introduzione alla Topologia Algebrica, si descrivono i primi elementi di teoria dell'omotopia, con l'obiettivo di definire il gruppo fondamentale di uno spazio topologico. Nella seconda parte viene offerta un'introduzione alla Geometria Differenziale studiando curve e superfici nello spazio reale a tre dimensioni.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Il corso si prefigge di fornire le competenze teoriche e pratiche necessarie alla comprensione e alla risoluzione dei problemi inerenti ai seguenti argomenti: superfici topologiche e loro classificazione, nozioni di teoria delle categorie e funtori, classi di omotopia tra funzioni e spazi topologici, gruppo fondamentale di uno spazio topologico, studio e caratterizzazione di una curva parametrizzata in R^n, studio e caratterizzazione di una superficie in R^3.

Al termine dell'insegnamento lo studente sarà in grado di richiamare e presentare le nozioni teoriche affrontate nel corso, comprensive di motivazioni, giustificazioni e dimostrazioni. Inoltre, applicando le strategie e tecniche risolutive viste nell'insegnamento e giustificandone i vari passaggi, sarà in grado di:
- classificare una superficie topologica dato un poligono che la rappresenta;
- calcolare il gruppo fondamentale di uno spazio topologico dato;
- distinguere diversi spazi topologici utilizzando opportuni invarianti;
- studiare e caratterizzare qualitativamente e quantitativamente una curva parametrizzata in R^n, con particolare attenzione alle curve in R^3;
- studiare e caratterizzare qualitativamente e quantitativamente una superficie regolare in R^3, anche utilizzando i concetti di curvatura gaussiana, curvatura sezionale, geodetiche.

PREREQUISITI

Nozioni di algebra lineare e geometria analitica. Nozioni di topologia generale. Nozioni di calcolo differenziale (derivate parziali, integrazione).

MODALITA' DIDATTICHE

Lezioni ed esercitazioni frontali

PROGRAMMA/CONTENUTO

I seguenti argomenti verranno trattati sia dal punto di vista teorico (lezioni) che pratico (esercitazioni).
Classificazione delle superfici topologiche.
Nozioni di teoria delle categorie e funtori.
Omotopia tra funzioni e spazi topologici.
Gruppo fondamentale.
Teorema di Seifert-Van Kampen.
Curve in R^n e in R^3: curvatura, torsione, terna intrinseca.
Superfici regolari in R^3: forme fondamentali, mappa di Gauss, curvatura, Teorema Egregium.

Potrà essere inoltre affrontato alla fine dell'insegnamento il Teorema di Gauss-Bonnet.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

1. Manetti, Topologia.
2. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces.
3. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica.
4. Massey: A basic Course in Algebraic Topology.
5. Abate, Tovena, Curve e superfici.
Altri testi o note potranno essere aggiunti o segnalati durante il semestre.

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Dal 17 febbraio 2025 secondo l'orario riportato qui 

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Prova scritta seguita da prova orale. L'esito della prova scritta serve di base per il punteggio finale, e può venire corretto dall'esito della prova orale, sia in positivo che in negativo.

Si ricorda alle studentesse e agli studenti con disabilità o con disturbi specifici dell'apprendimento (DSA) che per poter richiedere adattamenti in sede d'esame occorre seguire le istruzioni descritte in dettaglio su Aulaweb nella pagina "Lauree in Matematica e SMID".
In particolare, le agevolazioni vanno richieste con significativo anticipo (almeno 10 giorni) rispetto alla data di esame scrivendo al/alla docente con in copia il docente Referente di Scuola e l’Ufficio competente (si vedano le istruzioni).

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

L'esame scritto consisterà nella risoluzione di esercizi inerenti al programma dell'insegnamento (si vedano anche gli obiettivi formativi specifici). Con lo svolgimento degli esercizi lo studente sarà valutato nei seguenti aspetti:
- capacità di identificare i risultati teorici e pratici necessari per approcciare a risolvere i problemi proposti, e conoscenza degli stessi risultati;
- capacità di applicare i procedimenti opportuni e adatti allo svolgimento degli esercizi;
- capacità di argomentare e giustificare i passaggi svolti.

Con l'esame orale si andranno a valutare le capacità dimostrative e argomentative inerenti al programma dell'insegnamento. Verrà inoltre valutato il possesso delle conoscenze non positivamente accertate nello scritto.