OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Lo scopo di questo insegnamento è quello di introdurre al trattamento rigoroso dell'analisi matematica, sviluppando contemporaneamente i metodi del calcolo differenziale e integrale nel contesto delle funzioni reali di una variabile reale, con l'obiettivo di acquisire rigore logico, di pervenire ad una buona padronanza di calcolo e di conoscere le principali tecniche dimostrative

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

I risultati attesi dell'apprendimento prevedono che lo studente sappia maneggiare gli strumenti di base dell'analisi e del calcolo. Si prevede che lo studente abbia capito le dimostrazioni e sappia impostare e scrivere dimostrazioni di semplici enunciati.

MODALITA' DIDATTICHE

L'insegnamento prevede lezioni di teoria  e di esercizi  coordinate fra loro. È previsto un tutorato didattico parallelo al corso per permettere allo studente di monitorare la sua preparazione in itinere. Verranno caricati su aulaweb fogli di esercizi al termine di ogni argomento trattato e test di autovalutazioni intermedi.

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Numeri reali. Gli assiomi di corpo ordinato. Il valore assoluto. I numeri naturali e gli interi. I numeri razionali e la loro rappresentazione geometrica. L'assioma di completezza e le sue conseguenze. La retta reale. Archimedeità dei reali. Allineamenti decimali.

2. Funzioni. Relazioni, funzioni, dominio, codominio, immagine e grafico di funzioni. Composizione di funzioni. Funzioni invertibili. Operazioni su funzioni reali. Funzioni monotone. Polinomi e funzioni razionali. Altre funzioni elementari. Le funzioni trigonometriche. La funzione esponenziale nel corpo razionale. 

3. Limiti. Proprietà metriche e topologiche di R. Definizione di continuità. Operazioni con funzioni continue. Limiti e loro proprietà. Operazioni sui limiti. Teoremi del confronto. Limite di funzioni monotone. Limiti di funzione composte e cambiamenti di variabili. Successioni e loro limiti. Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni di Cauchy. Uso delle successioni nello studio dei limiti. Limiti di successioni definite per ricorrenza. Il numero e di Nepero.

4. Proprietà globali delle funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Continuità e monotonia. Continuità dell'inversa. Continuità uniforme. Il teorema di Heine Cantor. La funzione esponenziale nel corpo reale.

5. Calcolo differenziale, I. La derivata: definizione e prime proprietà. Differenziabilità. Proprietà algebriche del differenziale. Derivazione di funzioni composte e della funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Derivate di ordine superiore. I teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy e le loro conseguenze. Teorema de l'Hopital. Confronto locale tra funzioni. Infiniti e infinitesimi. Formula di Taylor. Studio delle proprietà di monotonia e di convessità di una funzione attraverso i segni delle derivate. Funzioni convesse. Metodo di Newton. Metodi iterativi per la risoluzione delle equazioni.

6. L'integrale indefinito. Regole di integrazione. Integrazione di alcune funzioni elementari. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. 

7. L'integrale definito secondo Riemann. Proprietà dell'integrale. Integrabilità di funzioni continue e di funzioni monotone. Integrali orientati. Teorema delle media integrale. Relazioni tra calcolo differenziale e calcolo integrale: funzioni integrali, il teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali impropri. Criteri di convergenza. 

8. Serie geometriche, telescopiche. Convergenza.Serie numeriche a termini non negativi: criterio del confronto, della radice e del rapporto; criterio di condensazione, dell’ordine e criterio integrale. Serie a segni alterni. Teorema di Leibniz.

9. (SOLO PER I FISICI - 8 ore circa ) Equazioni differenziali. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni lineari del primo ordine. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

9. (SOLO PER MATE e SMID - 22 ore circa) Calcolo differenziale di funzioni di più variabili.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Libri consigliati:

• A. Bacciotti e F. Ricci, Analisi Matematica I, Liguori, 1994.
• M. Baronti, F. De Mari, R. Van der Putten, I. Venturi, Calculus Problems, Springer, 2016.

Ulteriori letture:

• T.M. Apostol, Calcolo. Vol. 1: Analisi 1, Bollati Boringhieri, 1985.
• P. M. Fitzpatrick, Advanced Calculus (Second Ed. ) American Mathematical Society, 2006.

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Dal 23 settembre 2024 secondo l'orario riportato qui 

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consta di una prova scritta e di una prova orale.

Gli studenti iscritti al corso di studio in Fisica non sono tenuti allo studio delle dimostrazioni dei "6 teoremi" presenti nel file pubblicato su Aulaweb.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Prove scritte. 

1. Nel corso dell’anno saranno erogate due prove scritte intermedie (i cosiddetti “compitini”). Se uno studente ottiene una votazione media maggiore o uguale a 18/30 e se in entrambi riporta almeno 15/30, la media dei due voti vale come prova scritta e ne sostituisce lo svolgimento.

2. Una prova scritta con una votazione maggiore o uguale a 17/30 consente l’accesso alla prova orale.

3. Se uno studente consegna una prova scritta, si ritengono annullate le prove scritte consegnate in precedenza.

Nella prova scritta saranno presenti diversi esercizi sugli argomenti del programma  atti a valutare la capacità dello studente di utilizzare in maniera critica gli strumenti appresi durante il corso.

Prove orali. Durante la prova orale, la commissione interroga sull’intero programma. In particolare, verrà valutata la conoscenza delle definizioni dei concetti principali, e degli enunciati e dimostrazioni dei risultati più importanti, e verrà verificata la capacità di svolgere esercizi.